Resolva as equações abaixo, para x in R.
x+raiz25-x^2=7

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação que envolve uma raiz quadrada:
x + raiz25 - x^2 = 7
O conteúdo necessário envolve identificar o domínio da raiz, isolar a raiz, elevar ao quadrado e depois verificar as soluções obtidas no caso original.

Passo 2

Determinamos o domínio de raiz25 - x^2. Como o radicando deve ser não-negativo, temos
25 - x^2 >= 0 Longrightarrow -5 <= x <= 5
Além disso, a raiz quadrada retorna um valor >=0, então do lado direito 7 - x deve ser não-negativo:
7 - x >= 0 Longrightarrow x <= 7
Combinando estas condições, o domínio de interesse é
-5 <= x <= 5

Passo 3

Agora isolamos a raiz e elevamos ao quadrado:
raiz25 - x^2 = 7 - x
Elevando ambos os lados ao quadrado:
25 - x^2 = (7 - x)^2 = x^2 - 14x + 49
Passando tudo para um lado:
25 - x^2 - x^2 + 14x - 49 = 0 Longrightarrow -2x^2 + 14x - 24 = 0 Longrightarrow x^2 - 7x + 12 = 0
Fatorando:
(x - 3)(x - 4) = 0 Longrightarrow x = 3 ou x = 4

Passo 4

Verificamos cada candidato no original e no domínio -5 <= x <= 5:
  1. Para x=3:
3 + raiz25 - 3^2 = 3 + raiz16 = 3 + 4 = 7,
atende bem.
  1. Para x=4:
4 + raiz25 - 4^2 = 4 + raiz9 = 4 + 3 = 7,
também atende.
Ambos estão dentro de [-5,5] e satisfazem a equação original.

Resposta

As soluções são
x = 3 e x = 4

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