Resolva as equações abaixo, para x in R.
2-x-2 raizx+1=0

Passo 1

O enunciado nos pede para resolver a equação
2 - x - 2raizx+1 = 0
para xinR. O conteúdo aqui é equações que envolvem radical de índice 2, então vamos precisar isolar o radical, impor as condições de existência e depois elevar ao quadrado.

Passo 2

Impondo a existência de raizx+1, temos
x+1 >= 0 Rightarrow x >= -1

Passo 3

Isolamos o radical:
2 - x = 2raizx+1
e dividimos por 2:
raizx+1 = 2 - x2

Passo 4

Para elevar ao quadrado, é preciso que o lado direito seja não negativo:
2 - x2 >= 0 Rightarrow 2 - x >= 0 Rightarrow x <= 2
Combinando com x>= -1, obtemos o domínio reduzido
-1 <= x <= 2

Passo 5

Agora elevamos ao quadrado:
x+1 = (2 - x2)^2 = (2 - x)^24
Multiplicando ambos os lados por 4:
4x + 4 = (2 - x)^2 = x^2 - 4x + 4
Reorganizando,
x^2 - 4x + 4 - 4x - 4 = 0 Rightarrow x^2 - 8x = 0 Rightarrow x(x - 8) = 0
Logo as raízes são x=0 e x=8.

Passo 6

Verificamos quais soluções ficam no intervalo -1 <= x <= 2:
  • Para x=0, temos 0in[-1,2], é válida.
  • Para x=8, não satisfaz x<=2, logo é extraneous.
Concluímos que a única solução real é x=0.

Resposta

x = 0

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