Resolva as equações abaixo, para x in R.
raizx^4+2 x^2-x+1=1-x^2

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos resolver, em R, a equação
raizx^4+2x^2-x+1 ;=; 1 - x^2
O conteúdo envolve equações com radicais e restrições de domínio para manter tanto a raiz quanto o lado direito não negativos.

Passo 2

Determinar o domínio de validade: como a raiz quadrada sempre dá um resultado >=0, o lado direito também deve ser >=0. Logo,
1 - x^2 ;>=; 0 Longrightarrow x^2 ;<=; 1 Longrightarrow xin[-1,1]

Passo 3

Elevar ambos os lados ao quadrado (válido pois em [-1,1] temos 1-x^2>=0):
x^4 + 2x^2 - x + 1 ;=; (1 - x^2)^2 ;=; 1 - 2x^2 + x^4
Cortando x^4 e 1 dos dois lados, sobra
2x^2 - x ;=; -2x^2 Longrightarrow 4x^2 - x ;=; 0

Passo 4

Resolver 4x^2 - x = 0 por fatoração:
x(4x - 1) = 0 Longrightarrow x = 0 ou x = tfrac14

Passo 5

Verificar se ambas as soluções estão em [-1,1] e satisfazem a equação original:
  • Para x=0:
    Lado esquerdo raiz0^4+2cdot0^2-0+1=raiz1=1.
    Lado direito 1-0^2=1.
    OK.
  • Para x=tfrac14:
    LE = raizl(tfrac14r)^4+2l(tfrac14r)^2-tfrac14+1 = raiztfrac1256 + tfrac216 - tfrac14 +1 = raiztfrac225256 = tfrac1516,
RE = 1 - l(tfrac14r)^2 = 1 - tfrac116 = tfrac1516
OK.
Ambas são válidas.

Resposta

As soluções reais da equação são
x = 0 e x = tfrac14

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