Resolva as equações abaixo, para x in R.
raiz1-raizx^4-x^2=x-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação
raiz1 - raizx^4 - x^2 = x - 1
O conteúdo principal é análise de domínios de radicais e eliminação das raízes através de sucessivas quadraturas, conferindo sempre as restrições que surgem a cada passo.

Passo 2

Determinar o domínio da equação, observando três condições:
  1. O radical interno existe se
x^4 - x^2 >= 0 Longrightarrow x^2(x^2-1)>=0 Longrightarrow xin(-infty,-1]cup0cup[1,infty)
  1. O argumento do radical externo deve ser não negativo:
1 - raizx^4 - x^2 >= 0 Longrightarrow raizx^4 - x^2 <= 1 Longrightarrow x^4 - x^2 <= 1
Fazendo t=x^2, isso vira t^2 - t - 1 <= 0, cujas raízes são
1pmraiz52. Como t>=0, obtemos
0 <= x^2 <= 1+raiz52 Longrightarrow |x|<= raiz1+raiz52approx1,272
  1. Como o lado direito é x-1 dentro de uma raiz, queremos x-1>=0, ou seja x>=1.
Juntando tudo:
xin[1,infty)capl(-infty,-1]cup0cup[1,infty)capl[-raiztfrac1+raiz52,raiztfrac1+raiz52r] =l[1,raiztfrac1+raiz52r]

Passo 3

Agora elevamos ambos os lados ao quadrado, lembrando que x-1>=0 nesse intervalo:
raiz1 - raizx^4 - x^2 = x - 1 Longrightarrow 1 - raizx^4 - x^2 = (x-1)^2
Isolando o radical interno:
raizx^4 - x^2 = 1 - (x-1)^2
Como o lado esquerdo é não negativo, impomos também
1 - (x-1)^2 >= 0 Longrightarrow (x-1)^2 <= 1 Longrightarrow 0 <= x <= 2
Isso, junto com 1 <= x <= 1,272, mantém xin[1,,raiztfrac1+raiz52].

Passo 4

Elevamos de novo ao quadrado:
x^4 - x^2 = l[1 - (x-1)^2r]^2
Desenvolvendo o lado direito:
1 - (x-1)^2 = 1 - (x^2 - 2x + 1) = -x^2 + 2x
e
l(-x^2 + 2xr)^2 = x^2(x-2)^2
Logo a equação vira
x^4 - x^2 = x^2(x-2)^2 Longrightarrow x^2(4x - 5) = 0
Dessa forma as soluções algébricas são x=0 ou x=tfrac54.

Passo 5

Verificando no domínio l[1,raiztfrac1+raiz52r], apenas x=tfrac54 fica em [1,1,272]. Testando na equação original:
raiz1-raizl(tfrac54r)^4-l(tfrac54r)^2 =raiz1-tfrac1516 =raiztfrac116 =tfrac14 e tfrac54-1=tfrac14,
confirma-se a igualdade.

Resposta

x=tfrac54

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