Resolva as equações abaixo, para x in R.
raizx+10-raizx+3=raiz4 x-23

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos resolver a equação irracional
raizx+10;-;raizx+3;=;raiz4x-23,
para xinR. O conteúdo envolvido é equações com radicais, que exige: (i) determinar o domínio onde as raízes estão definidas e (ii) isolar radicais e elevar ao quadrado, tomando cuidado com soluções extraviadas.

Passo 2

Determinar o domínio exigido pelos radicandos:
x+10>=0implies x>=-10, x+3>=0implies x>=-3, 4x-23>=0implies x>=234
A condição mais restritiva é
x>=234

Passo 3

Com x>=234, elevamos ao quadrado ambos os lados de
raizx+10-raizx+3=raiz4x-23
Isso dá
l(raizx+10-raizx+3r)^2 ;=;4x-23
Expandindo o quadrado:
(x+10)+(x+3)-2raiz(x+10)(x+3) = 4x-23
ou seja
2x+13-2raiz(x+10)(x+3) = 4x-23
Isolando o radical:
2raiz(x+10)(x+3) = 2x+13 - (4x-23) = -2x+36
implies raiz(x+10)(x+3) = -,x + 18

Passo 4

Como um radical é sempre não-negativo, impomos
-,x+18>=0implies x<=18
Combinando com x>=234, ficamos com
234<= x<=18
Elevamos ao quadrado de novo:
(x+10)(x+3) = (-x+18)^2
x^2+13x+30 ;=; x^2 -36x+324
Cancelando x^2 e reunindo termos:
13x+30 = -36x+324Longrightarrow 49x = 294Longrightarrow x = 6

Passo 5

Verificação em original: para x=6 (que está no intervalo tfrac234<=6<=18),
raiz6+10-raiz6+3 = raiz16-raiz9 = 4-3 =1,
raiz4cdot6-23 = raiz24-23 = raiz1 = 1
Como ambos os lados coincidem, x=6 é solução válida e não há outras.

Resposta

6

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