Resolva as equações abaixo, para x in R.
raizx+4+2 raizx+1=raizx+20

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação com radicais
raizx+4+2 raizx+1=raizx+20
O conteúdo aqui é equações irracionais: vamos identificar o domínio, usar uma substituição para simplificar os radicais, e então elevar ao quadrado duas vezes para eliminar as raízes.

Passo 2

Determinamos o domínio exigido pelos radicais:
x+4>=0, x+1>=0, x+20>=0
que resulta em x>= -1.
Para facilitar, façamos a substituição
a = raizx+1, a>=0,
logo x = a^2 - 1.
Então
raizx+4 = raiza^2 -1 +4 = raiza^2+3, raizx+20 = raiza^2 -1 +20 = raiza^2+19
A equação vira
raiza^2+3 + 2a = raiza^2+19

Passo 3

Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar um radical:
l(raiza^2+3 + 2ar)^2 = l(raiza^2+19r)^2
(a^2+3) + 4araiza^2+3 +4a^2 = a^2+19
5a^2 +3 +4araiza^2+3 = a^2+19
4a^2 +4araiza^2+3 = 16

Passo 4

Isolamos o radical e elevamos ao quadrado de novo:
araiza^2+3 = 4 - a^2
l(araiza^2+3r)^2 = (4 - a^2)^2
a^2(a^2+3) = 16 - 8a^2 + a^4
a^4 +3a^2 = a^4 -8a^2 +16
11a^2 = 16 Longrightarrow a^2 = 1611 Longrightarrow a = 4raiz11
(somente a raiz positiva faz sentido porque a>=0).

Passo 5

Voltando a x:
x+1 = a^2 = 1611 Longrightarrow x = 1611 - 1 = 511
Verificamos na equação original que não há contradição, pois todos os radicais ficam bem definidos e a igualdade se confirma.

Resposta

x = 511

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