Use mudança de variáveis para resolver as equações abaixo, para x in R.
3 x^2-4 x+raiz3 x^2-4 x-6=18

Passo 1

O enunciado pede resolver, em R, a equação
3x^2-4x+raiz3x^2-4x-6=18
O conteúdo principal aqui é lidar com uma raiz quadrada somada a um polinômio, e para simplificar vamos usar uma mudança de variável.

Passo 2

Definimos a mudança de variável
y = 3x^2-4x
Com isso a equação original vira
y + raizy - 6 = 18

Passo 3

Isolamos a raiz e elevamos ao quadrado. Primeiro,
raizy - 6 = 18 - y,
para o que precisamos de 18 - y >= 0. Elevando ao quadrado:
y - 6 = (18 - y)^2 = y^2 - 36y + 324
Reorganizando, obtemos
y^2 - 37y + 330 = 0
O discriminante é De<a = 49, logo
y = 37 pm 72,
isto é y=22 ou y=15. Como em y=22 teríamos 18 - y = -4<0 (incompatível com a raiz), descartamos e ficamos com
y = 15

Passo 4

Voltando à variável x, resolve-se
3x^2-4x = 15 ;Longrightarrow; 3x^2-4x-15 = 0
O discriminante é De<a = 196, então
x = 4 pm 146 ;Longrightarrow; x = 3 ou x = -53
Basta conferir que em ambos os valores a expressão dentro da raiz, 3x^2-4x-6, é não negativa, garantindo que são soluções válidas.

Resposta

As soluções da equação são
x = 3 e x = -53

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