Resolva as equações abaixo, para x in R.
raizx-2+raizx-7=raizx+5+raizx-10

Passo 1

O enunciado pede resolver, para xinR, a equação
raizx-2+raizx-7=raizx+5+raizx-10
O conteúdo aqui é resolução de equações com radicais: primeiro determinamos o domínio onde todas as raízes são reais, depois isolamos expressões radicais e elevamos ao quadrado repetidas vezes, cuidando de não introduzir soluções extranhas.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo que os radicandos sejam não negativos:
x-2>=0, x-7>=0, x+5>=0, x-10>=0
A condição mais restritiva é x>=10. Logo, trabalhamos em [10,infty).

Passo 3

Reagrupamos para poder elevar ao quadrado de forma controlada:
raizx-2-raizx+5=raizx-10-raizx-7
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(x-2)+(x+5)-2raiz(x-2)(x+5) ;=;(x-10)+(x-7)-2raiz(x-10)(x-7)
Isto simplifica para
2x+3-2raizx^2+3x-10 ;=; 2x-17-2raizx^2-17x+70

Passo 4

Isolamos as raízes restantes:
-2raizx^2+3x-10+2raizx^2-17x+70=-20 ;Longrightarrow; raizx^2+3x-10-raizx^2-17x+70=10
Elevando ao quadrado:
(x^2+3x-10)+(x^2-17x+70)-2raiz(x^2+3x-10)(x^2-17x+70)=100,
que, após simplificar, leva a
x-9=raizx^2-17x+70
Elevando ao quadrado pela última vez:
(x-9)^2=x^2-17x+70 Longrightarrow x=11

Passo 5

Verificamos em x=11 no enunciado:
raiz11-2+raiz11-7=3+2=5, raiz11+5+raiz11-10=4+1=5,
logo vale e está no domínio.

Resposta

11

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