Resolva as equações abaixo, para x in R.
raiz2 x+3+raiz3 x+2-raiz2 x+5=raiz3 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em R, a equação
raiz2x+3 ;+;raiz3x+2;-;raiz2x+5;=;raiz3x
O conteúdo envolve equações com radicais lineares. Para resolver, vamos (1) identificar o domínio, (2) isolar as raízes de forma simétrica, (3) elevar aos quadrados sucessivas vezes para eliminar os radicais e (4) verificar possíveis soluções extranhas.

Passo 2

Determinamos o domínio exigido por cada radical:
2x+3>=0, 3x+2>=0, 2x+5>=0, 3x>=0
Isto dá
x>= -tfrac32, x>= -tfrac23, x>= -tfrac52, x>=0,
logo o domínio comum é
x>=0

Passo 3

Reescrevemos a equação agrupando dois radicais de cada lado:
raiz2x+3 ;+;raiz3x+2 ;=; raiz2x+5 ;+;raiz3x
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado:

Passo 4

Ao elevar ao quadrado obtemos
( raiz2x+3 + raiz3x+2 )^2 = ( raiz2x+5 + raiz3x )^2,
isto é,
(2x+3)+(3x+2)+2raiz(2x+3)(3x+2) ;=; (2x+5)+(3x)+2raiz3x(2x+5)
Os termos lineares somam 5x+5 em ambos os lados e se cancelam, sobrando
raiz(2x+3)(3x+2) ;=; raiz3x(2x+5)

Passo 5

Elevamos novamente ao quadrado:
(2x+3)(3x+2) ;=; 3x(2x+5)
Expandindo,
6x^2+13x+6 =6x^2+15x Longrightarrow 13x+6=15x Longrightarrow 2x=6 Longrightarrow x=3

Passo 6

Verificamos que x=3 está no domínio (x>=0) e confere na equação original:
raiz2cdot3+3+raiz3cdot3+2-raiz2cdot3+5 =3+raiz11-raiz11=3,
raiz3cdot3=3
Portanto não é solução extranha.

Resposta

A única solução em R é
x=3

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