Resolva as equações abaixo, para x in R.
raizx+6+raizx-10=raizx+17+raizx-15

Passo 1

O enunciado pede para resolver
raizx+6+raizx-10=raizx+17+raizx-15
para xinR. Como todo radical precisa de argumento não negativo, exigimos
x+6>=0,;x-10>=0,;x+17>=0,;x-15>=0
logo a restrição mais forte é x>=15. A partir de agora trabalhamos com x>=15.

Passo 2

Reescrevemos a equação de forma a ter duas diferenças de radicais iguais (ambos não negativos para x>=15). Observe que
raizx+6<raizx+17 e raizx-15<raizx-10,
então podemos transpor e mudar sinal em cada par:
raizx+17-raizx+6 ;=;raizx-10-raizx-15

Passo 3

Agora elevamos ambos os lados ao quadrado. Para notação, defina
E=raiz(x+17)(x+6), F=raiz(x-10)(x-15)
Então
l(raizx+17-raizx+6r)^2= x+17 + x+6 -2E
e
l(raizx-10-raizx-15r)^2= x-10 + x-15 -2F.
Igualando e simplificando dá
2x+23 -2E ;=;2x-25 -2F Longrightarrow E - F = 24

Passo 4

Elevamos de novo ao quadrado E - F = 24. Como
E^2=(x+17)(x+6)=x^2+23x+102, F^2=(x-10)(x-15)=x^2-25x+150,
temos
(E-F)^2=E^2+F^2-2EF=576
Isso leva a
2x^2 -2x +252 -2raiz(x+17)(x+6)(x-10)(x-15)=576,
de onde isolamos a raiz e elevamos ao quadrado mais uma vez. No fim resta uma equação polinomial de quarto grau que se reduz, após cancelamentos, a
576x=10944 Longrightarrow x=19

Passo 5

Verificamos na equação original para x=19:
raiz25+raiz9=5+3=8 e raiz36+raiz4=6+2=8.
Funciona e satisfaz x>=15.

Resposta

19

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