Resolva as equações abaixo, para x in R.
raizx-1+raizx+2=raizx+34-raizx+7

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos resolver, em ,
sujeito a todas as raízes estarem definidas. Como precisamos de
concluímos que o domínio da equação é .

Passo 2

Para simplificar, façamos as substituições
a = raizx-1, b = raizx+2, c = raizx+7, d = raizx+34
Então o sistema de relações é:
  1. A equação original vira
a + b = d - c Long<=ftrightarrow a + b + c = d
  1. Pelas definições, temos as diferenças de quadrados:
b^2 - a^2 = (x+2)-(x-1)=3, c^2 - b^2 = (x+7)-(x+2)=5, d^2 - c^2 = (x+34)-(x+7)=27

Passo 3

Agora exploramos essas diferenças como equações de soma e diferença de inteiros. Por exemplo, de
b^2 - a^2 = 3
vem
(b - a)(b + a) = 3
Como a,b>=0 e 3 só se factoriza em 1cdot3, só há duas possibilidades em inteiros positivos:
  • b - a = 1 e b + a = 3, ou
  • b - a = 3 e b + a = 1 (impossível pois daria b+a< b-a).
Portanto
b - a = 1, b + a = 3 ;Longrightarrow; b = 2,;a = 1
Em seguida, de
c^2 - b^2 = 5 ;Longrightarrow; (c - b)(c + b) = 5,
novamente só vale c-b = 1, c+b = 5 em inteiros positivos, dando
c = 3
Finalmente, de
d^2 - c^2 = 27 ;Longrightarrow; (d - c)(d + c) = 27,
tomamos d - c = 3, d + c = 9, o que leva a
d = 6

Passo 4

Falta checar a condição a + b + c = d. Com a=1, b=2, c=3, temos
a + b + c = 1 + 2 + 3 = 6 = d,
logo tudo é consistente.
Agora voltamos a x: de a = raizx-1 = 1 segue
x-1 = 1^2 = 1 Longrightarrow x = 2
Verificamos que 2>=1 (está no domínio) e que substituído na equação original as duas mãos dão exatamente 3.

Resposta

A única solução em é

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