Resolva as equações abaixo, para
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos resolver, em ,
sujeito a todas as raízes estarem definidas. Como precisamos de
concluímos que o domínio da equação é
.
Passo 2
Para simplificar, façamos as substituições
Então o sistema de relações é:
- A equação original vira
- Pelas definições, temos as diferenças de quadrados:
Passo 3
Agora exploramos essas diferenças como equações de soma e diferença de inteiros. Por exemplo, de
vem
Como
e
só se factoriza em
, só há duas possibilidades em inteiros positivos:
-
e , ou -
e (impossível pois daria ).
Portanto
Em seguida, de
novamente só vale
,
em inteiros positivos, dando
Finalmente, de
tomamos
,
, o que leva a
Passo 4
Falta checar a condição
. Com
,
,
, temos
logo tudo é consistente.
Agora voltamos a
: de
segue
Verificamos que
(está no domínio) e que substituído na equação original as duas mãos dão exatamente
.
Resposta
A única solução em é