Resolva as equações abaixo, para x in R.
raiz8 x+1-raiz2 x-2=raiz7 x+4-raiz3 x-5

Passo 1

Temos a equação com radicais
raiz8x+1-raiz2x-2 ;=;raiz7x+4-raiz3x-5,
que é um problema de equação envolvendo raízes quadradas. Para resolver, vamos:
  1. determinar o domínio de existência;
  2. eliminar os radicais elevando ao quadrado de forma controlada;
  3. verificar as soluções obtidas para evitar extranos.

Passo 2

Precisamos que todos os radicandos sejam não negativos:
8x+1>=0, 2x-2>=0, 7x+4>=0, 3x-5>=0
Isso dá
x>= -tfrac18, x>=1, x>= -tfrac47, x>= tfrac53
O domínio comum é
x>= tfrac53

Passo 3

Reescrevemos a equação levando um par de raízes para cada lado:
raiz8x+1+raiz3x-5 ;=;raiz7x+4+raiz2x-2
Elevando ao quadrado:
(8x+1)+(3x-5)+2raiz(8x+1)(3x-5) ;=;(7x+4)+(2x-2)+2raiz(7x+4)(2x-2)
Isto simplifica para
11x-4 +2raiz(8x+1)(3x-5) ;=;9x+2 +2raiz(7x+4)(2x-2),
ou
raiz(8x+1)(3x-5)-raiz(7x+4)(2x-2) ;=;-x+3
Agora elevamos ao quadrado de novo:
l[raiz(8x+1)(3x-5)r]^2 + l(-x+3r)^2 -2(-x+3)raiz(8x+1)(3x-5) ;=;(14x^2-6x-8)+x^2-6x+9-2(x-3)raiz14x^2-6x-8
Após simplificações chega-se a
2(x-3),raiz14x^2-6x-8 ;=;-9x^2+25x+6
Note que
-9x^2+25x+6 ;=;-l(9x^2-25x-6r) ;=;-9,(x-3)!l(x+tfrac29r)
Logo
2(x-3),raiz14x^2-6x-8 ;=;-9(x-3)l(x+tfrac29r)
Isso dá
(x-3)l[2raiz14x^2-6x-8 ;+;(9x+2)r]=0
No domínio x>=tfrac53, temos 9x+2>0 e raiz14x^2-6x-8>=0, de modo que
2raiz14x^2-6x-8 + (9x+2)>0,
não se anula. Assim a única possibilidade é
x-3=0 Longrightarrow x=3
Verificando em x=3, todos os radicandos são válidos e a igualdade original fica
5-2=5-2,
confirmando.

Resposta

A única solução em R é
x = 3

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