Resolva as equações abaixo, para x in R.
1raizx+raizx^2-1+1raizx-raizx^2-1=raiz2(x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em R, a equação
1raizx+raizx^2-1 ;+;1raizx-raizx^2-1 =raiz2l(x^2+1r)
O conteúdo envolve manipulação de radicais e domínio de funções com raiz. Como temos raizx^2-1, impomos inicialmente x^2-1>=0, ou seja lvert xrvert>=1. Além disso, para os denominadores fazerem sentido, precisamos xpmraizx^2-1>0.

Passo 2

Defina
A = raizx+raizx^2-1, B = raizx-raizx^2-1
Então
AB = raiz(x+raizx^2-1)(x-raizx^2-1) = raizx^2-(x^2-1) = raiz1=1,
e
A^2+B^2 = l(x+raizx^2-1r) + l(x-raizx^2-1r) = 2x

Passo 3

Reescrevendo o lado esquerdo da equação original:
1raizx+raizx^2-1 + 1raizx-raizx^2-1 = 1A + 1B = A+BAB = A+B,
pois AB=1.

Passo 4

Calculamos (A+B)^2:
(A+B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB = 2x + 2

Passo 5

A equação vira
A+B = raiz2l(x^2+1r)
Elevando ao quadrado:
(A+B)^2 = 2(x^2+1) ;Longrightarrow; 2x + 2 = 2x^2 + 2 ;Longrightarrow; x^2 - x = 0 ;Longrightarrow; x(x-1)=0
Logo as soluções candidatas são x=0 ou x=1.

Passo 6

Impondo o domínio lvert xrvert>=1 e exigindo xpmraizx^2-1>0, vemos que apenas x=1 satisfaz todas as condições.

Passo 7

Verificação rápida em x=1:
raiz1^2-1=0, 1raiz1+0+1raiz1-0=1+1=2, raiz2(1+1)=raiz4=2
Está OK.

Resposta

x=1

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