Resolva as equações abaixo, para x in R.
11-raiz1-x-11+raiz1-x=raiz3x

Passo 1

O enunciado pede para resolver
11-raiz1-x ;-;11+raiz1-x ;=;raiz3x
para xinR. O conteúdo envolvido é manipulação de frações algébricas com radicais e análise de domínio da expressão.

Passo 2

Determinamos o domínio de validade:
  1. A expressão raiz1-x exige 1 - x >= 0, ou seja x <= 1.
  2. Os denominadores não podem ser zero: 1 - raiz1-x neq 0 e 1 + raiz1-x neq 0, a primeira condição exclui raiz1-x=1, ou seja x=0. A segunda nunca anula.
  3. Além disso xneq 0 para raiz3/x estar definida.
    Logo o domínio é
x <= 1, x neq 0

Passo 3

Vamos simplificar a diferença das frações. Primeiro escrevemos em bloco:
11-raiz1-x ;-;11+raiz1-x = (1+raiz1-x) - (1-raiz1-x) (1-raiz1-x)(1+raiz1-x)

Passo 4

No numerador temos
(1+raiz1-x) - (1-raiz1-x) = 2raiz1-x,
e no denominador
(1-raiz1-x)(1+raiz1-x) = 1 - (1-x) = x
Portanto a esquerda vira
2raiz1-xx
A equação original fica
2raiz1-xx = raiz3x
Multiplicando ambos os lados por x (válido pois xneq0) obtemos
2raiz1-x = raiz3

Passo 5

Isolamos o radical:
raiz1-x = raiz32
Elevando ao quadrado:
1 - x = 34 Longrightarrow x = 1 - 34 = 14
Verificamos que x=tfrac14 satisfaz x<=1, xneq0 e não zera nenhum denominador, e de fato confere na equação original.

Resposta

x = 14

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