Resolva as equações abaixo, para x in R.
x+raiz3raizx+raizx+raiz3+x-raiz3raizx-raizx-raiz3=raizx

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em R, a equação
x+raiz3raizx+raizx+raiz3 ;+; x-raiz3raizx-raizx-raiz3 ;=; raizx
Para que todas as raízes estejam definidas, precisamos de
x>=0, x+raiz3>=0, x-raiz3>=0 ;Longrightarrow; x>=raiz3

Passo 2

Racionalizamos cada termo:
x+raiz3raizx+raizx+raiz3 ;=; (x+raiz3)(raizx+raiz3-raizx) (x+raiz3)-x ;=; (x+raiz3)(raizx+raiz3-raizx)raiz3
e
x-raiz3raizx-raizx-raiz3 ;=; (x-raiz3)(raizx+raizx-raiz3) x-(x-raiz3) ;=; (x-raiz3)(raizx+raizx-raiz3)raiz3
Somando e multiplicando ambos os lados por raiz3 obtemos
(x+raiz3)l(raizx+raiz3-raizxr) + (x-raiz3)l(raizx+raizx-raiz3r) ;=;raiz3,raizx

Passo 3

Façamos a troca
y=raizx, B=raizy^2+raiz3, C=raizy^2-raiz3
Então a soma vira
(x+raiz3)(B-y)+(x-raiz3)(y+C) ;=;raiz3,y,
ou seja, usando x=y^2,
y^2(B+y)+raiz3,B ;-;y^2,y-raiz3,y ;+;y^2,y+y^2,C-raiz3,y-raiz3,C ;=;raiz3,y
Reagrupando encontra-se
B^3 + C^3 ;=;3raiz3,y

Passo 4

Observe que
B^3 = (y^2+raiz3)^3/2, C^3 = (y^2-raiz3)^3/2,
logo a equação é
(y^2+raiz3)^3/2 ;+;(y^2-raiz3)^3/2 ;=;3raiz3,y
Por inspeção, o valor y^2=2 (isto é, y=raiz2) satisfaz:
(,2+raiz3,)^3/2+(,2-raiz3,)^3/2 = (raiz2+raiz3)^3+(raiz2-raiz3)^3 =3raiz3,raiz2

Passo 5

Como y=raizx>=0 e raizx>=raiz[4]3approx1,316, o único y que satisfaz é y=raiz2. Consequentemente
x ;=; y^2 ;=; 2,
que de fato está no domínio x>=raiz3.

Resposta

x=2

Exercícios relacionados