Sabendo que \log _{20} 2=a e \log _{20} 3=b, calcule \log _{5 / 3} 12. (2pt)

Passo 1

O enunciado dá as informações \log_{20}2 = a e \log_{20}3 = b e pede para calcular \log_{5/3}12.
Resumindo: dados \; \log_{20}2=a,\; \log_{20}3=b\;, encontrar \; \log_{5/3}12.

Passo 2

Usamos a fórmula de mudança de base. Se x=\log_{c}d, então c^x=d. Aplicando logaritmo numa base qualquer k em ambos os lados e isolando, obtemos a identidade
\log_{c}d=\frac{\log_{k}d}{\log_{k}c}.
Aqui k é qualquer base conveniente — vou escolher k=20 porque os dados estão em base 20. A fórmula significa: para trocar a base de um logaritmo, dividimos o logaritmo do argumento pelo logaritmo da nova base, ambos na mesma base de referência.

Passo 3

Aplicando a mudança de base com k=20 obtemos
\log_{5/3}12=\frac{\log_{20}12}{\log_{20}(5/3)}.
Agora calculo separadamente numerador e denominador usando propriedades dos logaritmos: \log(ab)=\log a+\log b e \log(a^n)=n\log a.

Passo 4

Calculo do numerador:
\log_{20}12=\log_{20}(3\cdot 4)=\log_{20}3+\log_{20}4.
Como 4=2^2,
\log_{20}4=\log_{20}(2^2)=2\log_{20}2.
Usando os dados \log_{20}3=b e \log_{20}2=a, vem
\log_{20}12=b+2a.

Passo 5

Calculo do denominador:
\log_{20}(5/3)=\log_{20}5-\log_{20}3.
Precisamos de \log_{20}5. Como 20=2^2\cdot5, tem-se 5=\dfrac{20}{2^2}, então
\log_{20}5=\log_{20}\!\left(\frac{20}{2^2}\right)=\log_{20}20-\log_{20}2^2=1-2\log_{20}2.
Substituindo \log_{20}2=a e \log_{20}3=b,
\log_{20}(5/3)=(1-2a)-b=1-2a-b.

Passo 6

Substituindo numerador e denominador na fórmula da mudança de base:
\log_{5/3}12=\frac{b+2a}{1-2a-b}.
Pronto — esta é a expressão de \log_{5/3}12 em termos de a e b. Força aí — resolve várias questões parecidas do mesmo jeito!

Resposta

\displaystyle \frac{b+2a}{1-2a-b}

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