Sabendo que \log _{20} 2=a e \log _{20} 3=b, calcule \log _{27} 3 / 10. ( 2 pt )

Passo 1

O problema nos dá as duas informações
\log_{20} 2 = a e \log_{20} 3 = b, e pede para calcular
\log_{27} \dfrac{3}{10}.
As informações relevantes são:
  • o valor de \log_{20}2 em função de a;
  • o valor de \log_{20}3 em função de b.
    Nada mais é fornecido.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de mudança de base, que diz que para quaisquer bases positivas diferentes de 1 e argumentos positivos,
\log_{p} q = \frac{\log_{r} q}{\log_{r} p}.
Aqui é conveniente escolher r=20, porque conhecemos logs na base 20. Aplicando a mudança de base:
\log_{27}\!\left(\frac{3}{10}\right) = \frac{\log_{20}\!\left(\frac{3}{10}\right)}{\log_{20} 27}.
Expliquei: escolhi a base 20 para aproveitar a e b.

Passo 3

Usamos a propriedade do logaritmo de quociente:
\log_{20}\!\left(\frac{3}{10}\right) = \log_{20} 3 - \log_{20} 10.
Substituindo \log_{20}3=b, obtemos
\log_{20}\!\left(\frac{3}{10}\right)= b - \log_{20}10.

Passo 4

Precisamos achar \log_{20}10 em termos de a e b. Observe que 20=2^2\cdot 5. Como \log_{20}20=1, temos:
1=\log_{20}20=\log_{20}\left(2^2\cdot 5\right)=2\log_{20}2+\log_{20}5.
Substituindo \log_{20}2=a, segue
1=2a+\log_{20}5 \quad\Rightarrow\quad \log_{20}5=1-2a.
Agora 10=2\cdot 5, logo
\log_{20}10=\log_{20}2+\log_{20}5=a+(1-2a)=1-a.
Expliquei cada passo: usei decomposição em fatores e propriedades de potência e produto de logaritmos.

Passo 5

Voltando ao numerador:
\log_{20}\!\left(\frac{3}{10}\right)=b-\log_{20}10=b-(1-a)=a+b-1.

Passo 6

Calculemos o denominador \log_{20}27. Como 27=3^3,
\log_{20}27=\log_{20}\left(3^3\right)=3\log_{20}3=3b.
Usei a propriedade \log(x^k)=k\log x.

Passo 7

Substituindo numerador e denominador na mudança de base:
\log_{27}\!\left(\frac{3}{10}\right)=\frac{a+b-1}{3b}.
Pronto — essa é a expressão pedida em termos de a e b.

Resposta

\displaystyle \frac{a+b-1}{3b}

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