Sabendo que
e
, calcule
. ( 2 pt )
Passo 1
O problema nos dá as duas informações
e
, e pede para calcular
.
As informações relevantes são:
As informações relevantes são:
- o valor de
em função de ; - o valor de
em função de .
Nada mais é fornecido.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de mudança de base, que diz que para quaisquer bases positivas diferentes de 1 e argumentos positivos,
Aqui é conveniente escolher
, porque conhecemos logs na base 20. Aplicando a mudança de base:
Expliquei: escolhi a base
para aproveitar
e
.
Passo 3
Usamos a propriedade do logaritmo de quociente:
Substituindo
, obtemos
Passo 4
Precisamos achar
em termos de
e
. Observe que
. Como
, temos:
Substituindo
, segue
Agora
, logo
Expliquei cada passo: usei decomposição em fatores e propriedades de potência e produto de logaritmos.
Passo 5
Voltando ao numerador:
Passo 6
Calculemos o denominador
. Como
,
Usei a propriedade
.
Passo 7
Substituindo numerador e denominador na mudança de base:
Pronto — essa é a expressão pedida em termos de
e
.