Resolva as equações abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede: encontrar todos os valores reais de
que satisfazem essa igualdade (ou seja, a solução geral).
As informações relevantes que temos são apenas a própria equação e que
é um número real (não foi dado outro domínio).
Passo 2
Vamos transformar a equação usando uma identidade trigonométrica para escrever tudo em função de
(isso costuma simplificar). A identidade que usamos é
Explicando por que essa identidade é verdadeira: partindo de
e substituindo
, obtém-se
. Aqui
e
são as razões trigonométricas usuais; a identidade é válida para todo
.
Passo 3
Substituindo a identidade na equação original:
Agora simplifico: primeiro somo os termos e cancelo o
dos dois lados:
Passo 4
Reescrevo isso como um produto (fatorando
):
Quando um produto é zero, pelo princípio do produto nulo, pelo menos um dos fatores é zero. Assim temos duas possibilidades:
Passo 5
Resolvo cada caso separadamente.
Caso 1:
.
Sabe-se (ou observa-se no círculo trigonométrico) que
ocorre nos ângulos
e
no intervalo
, e por periodicidade de
esses zeros se repetem a cada múltiplo de
. A forma geral é
Raciocínio:
,
, e como
e
, os zeros aparecem em todos os múltiplos inteiros de
.
Passo 6
Caso 2:
.
Para
encontramos as soluções principais no intervalo
:
(primeiro quadrante) e
(segundo quadrante), porque nesses ângulos a coordenada
no círculo trigonométrico vale
. Pela periodicidade de
temos a forma geral
(Outra forma de ver:
, e a segunda solução no
é
.)
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança):
- Se
, então e , logo — satisfaz. - Se
, então , logo — satisfaz.
Portanto todas as soluções obtidas são válidas.