Resolva as equações abaixo:
\operatorname{sen} x+\cos (2 x)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
\sin x+\cos(2x)=1
e pede: encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa igualdade (ou seja, a solução geral).
As informações relevantes que temos são apenas a própria equação e que x é um número real (não foi dado outro domínio).

Passo 2

Vamos transformar a equação usando uma identidade trigonométrica para escrever tudo em função de \sin x (isso costuma simplificar). A identidade que usamos é
\cos(2x)=1-2\sin^{2}x.
Explicando por que essa identidade é verdadeira: partindo de \cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x e substituindo \cos^{2}x=1-\sin^{2}x, obtém-se \cos(2x)=(1-\sin^{2}x)-\sin^{2}x=1-2\sin^{2}x. Aqui \sin x e \cos x são as razões trigonométricas usuais; a identidade é válida para todo x.

Passo 3

Substituindo a identidade na equação original:
\sin x + \bigl(1-2\sin^{2}x\bigr)=1.
Agora simplifico: primeiro somo os termos e cancelo o 1 dos dois lados:
\sin x + 1 - 2\sin^{2}x = 1
\sin x - 2\sin^{2}x = 0.

Passo 4

Reescrevo isso como um produto (fatorando \sin x):
\sin x\,(1-2\sin x)=0.
Quando um produto é zero, pelo princípio do produto nulo, pelo menos um dos fatores é zero. Assim temos duas possibilidades:
\sin x = 0 \qquad\text{ou}\qquad 1-2\sin x=0.

Passo 5

Resolvo cada caso separadamente.
Caso 1: \sin x = 0.
Sabe-se (ou observa-se no círculo trigonométrico) que \sin x=0 ocorre nos ângulos 0 e \pi no intervalo [0,2\pi), e por periodicidade de 2\pi esses zeros se repetem a cada múltiplo de \pi. A forma geral é
x = k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Raciocínio: \sin(0)=0, \sin(\pi)=0, e como \sin(x+\pi)=-\sin x e \sin(x+2\pi)=\sin x, os zeros aparecem em todos os múltiplos inteiros de \pi.

Passo 6

Caso 2: 1-2\sin x=0 \Rightarrow \sin x=\dfrac{1}{2}.
Para \sin x=\dfrac{1}{2} encontramos as soluções principais no intervalo [0,2\pi): x=\dfrac{\pi}{6} (primeiro quadrante) e x=\dfrac{5\pi}{6} (segundo quadrante), porque nesses ângulos a coordenada y no círculo trigonométrico vale 1/2. Pela periodicidade de 2\pi temos a forma geral
x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\qquad\text{ou}\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
(Outra forma de ver: \arcsin(1/2)=\pi/6, e a segunda solução no [0,2\pi) é \pi-\pi/6=5\pi/6.)

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança):
  • Se x=k\pi, então \sin x=0 e \cos(2x)=\cos(2k\pi)=1, logo \sin x+\cos(2x)=0+1=1 — satisfaz.
  • Se \sin x=1/2, então \cos(2x)=1-2\sin^{2}x=1-2\cdot(1/2)^{2}=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}, logo \sin x+\cos(2x)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1 — satisfaz.
Portanto todas as soluções obtidas são válidas.

Resposta

x=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}
x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}
x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}

Exercícios relacionados