Resolva as equações abaixo encontrando um fator integrante.
y^2+(x y+1) d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y^2 + l(x,y + 1r),dydx = 0
procurando um fator integrante que torne a equação exata. O conteúdo envolve equações diferenciais ordinárias e o uso de fatores integrantes para exatidão.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
onde
M(x,y) = y^2, N(x,y) = x,y + 1
Para ser exata precisamos ter partial M/partial y = partial N/partial x. Calculamos
partial Mpartial y = 2y, partial Npartial x = y,
e vemos que 2y neq y. Logo não é exata. Para testar um fator integrante em função só de y, usamos a condição
partial N/partial x - partial M/partial yM = y - 2yy^2 = -1y,
que depende apenas de y. Assim existe um fator integrante mu(y).

Passo 3

O fator integrante em função de y satisfaz
mu(y) = expgl(integral -1y,dygr) = expl(-ln|y|r) = 1y
Multiplicamos a equação original por mu(y)=1/y:
y^2y,dx + x,y+1y,dy = 0 Longrightarrow y,dx + l(x + 1yr),dy = 0

Passo 4

Denotamos
M^*(x,y) = y, N^*(x,y) = x + 1y
Agora
partial M^*partial y = 1, partial N^*partial x = 1,
logo a equação é exata. Procuramos Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M^*=y Longrightarrow Psi(x,y)=x,y + h(y)
Derivando em relação a y:
partial Psipartial y = x + h'(y) stackrel!= N^* = x + 1y Longrightarrow h'(y)=1y ;Longrightarrow; h(y)=ln|y|
Assim
Psi(x,y)=x,y + ln|y|

Resposta

A solução geral implícita, incluindo o fator integrante mu(y)=1/y, é
x,y + lnl|yr| = C,
onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados