Resolva as equações abaixo fazendo a substituição
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e sugere a substituição
. O conteúdo aqui é reduzir uma EDO de segunda ordem a uma de primeira ordem em
usando a regra da cadeia:
Passo 2
Substituindo
e
na equação original obtemos
Como queremos uma equação em
e
, podemos dividir por
(exceto na solução trivial
) para chegar a
Passo 3
Reescrevendo a equação de forma separável:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Multiplicando por
e resolvendo para
,
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 5
Lembrando que
, temos
Agora integramos novamente:
onde
é outra constante de integração.
Multiplicando tudo por 3 para simplificar:
com
.
Resposta
A solução geral implícita da equação é
onde
e
são constantes arbitrárias.