Resolva as equações abaixo fazendo a substituição v=y^prime.
y^prime prime+y(y^prime)^3=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
y'' + y,(y')^3 = 0
e sugere a substituição v = y'. O conteúdo aqui é reduzir uma EDO de segunda ordem a uma de primeira ordem em v usando a regra da cadeia:
y'' = dvdx = dvdy,dydx = v,dvdy

Passo 2

Substituindo y'' = v,dvdy e y'=v na equação original obtemos
v,dvdy + y,v^3 = 0
Como queremos uma equação em v e y, podemos dividir por v (exceto na solução trivial v=0) para chegar a
dvdy + y,v^2 = 0

Passo 3

Reescrevendo a equação de forma separável:
dvdy = -,y,v^2 Longrightarrow dvv^2 = -,y,dy

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dvv^2 = integral -,y,dy Longrightarrow -,1v = -,y^22 + C1
Multiplicando por -1 e resolvendo para v,
1v = y^22 + C1 Longrightarrow v = 1y^22 + C1 = 2y^2 + C,
onde C = 2C1 é uma constante arbitrária.

Passo 5

Lembrando que v = y' = dfracdydx, temos
dydx = 2y^2 + C Longrightarrow (y^2 + C),dy = 2,dx
Agora integramos novamente:
integral (y^2 + C),dy = integral 2,dx Longrightarrow y^33 + C,y = 2x + D,
onde D é outra constante de integração.
Multiplicando tudo por 3 para simplificar:
y^3 + 3C,y = 6x + D',
com D' = 3D.

Resposta

A solução geral implícita da equação é
y^3 + A,y = 6x + B,
onde A e B são constantes arbitrárias.

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