Resolva as inequações abaixo em termos dos intervalos e ilustre o conjunto solução na reta real:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
e ilustrar o conjunto solução na reta real. As informações dadas são:
- A expressão é o produto de dois fatores lineares:
e . - A desigualdade é estrita:
(portanto os pontos onde algum fator é zero não pertencem à solução). - Precisamos dar o conjunto solução em termos de intervalos e desenhá-lo na reta real.
Passo 2
Encontrar os pontos críticos (zeros) onde cada fator se anula, porque eles dividem a reta em intervalos onde o sinal do produto é constante.
Resolver dá
.
Resolver dá
.
Resolver
Resolver
Passo 3
Dividir a reta real pelos pontos críticos obtidos em três intervalos:
Em cada um desses intervalos o sinal de
será constante (pois os fatores são funções contínuas sem outras raízes).
Passo 4
Regra de sinais para produto: o produto de dois números é positivo quando ambos são positivos ou ambos são negativos. Como os fatores são lineares (mudam de sinal apenas em suas raízes), basta verificar o sinal de cada fator em cada intervalo ou testar um ponto representativo de cada intervalo.
Passo 5
Analisar o sinal em cada intervalo usando raciocínio sobre sinais (ou testando pontos):
-
Para
(intervalo ):
e . Dois negativos multiplicados dão positivo.
Portantopara todo .
Exemplo numérico: em, . -
Para
(intervalo ):
e . Sinais opostos dão produto negativo.
Portantopara todo .
Exemplo numérico: em, . -
Para
(intervalo ):
e . Dois positivos multiplicados dão positivo.
Portantopara todo .
Exemplo numérico: em, .
Passo 6
Juntando as partes onde a inequação é satisfeita e lembrando que as raízes
e
não pertencem à solução (porque a desigualdade é estrita), obtemos o conjunto solução:
Passo 7
Ilustração na reta real (abertura nos pontos
e
para indicar que eles NÃO pertencem à solução; seta indica que a solução vai até
e
):
Assinalando os pontos importantes com valores:
Marcações sólidas representam os trechos de solução: a reta à esquerda de
e à direita de
estão pintadas (abertas em
e
).