Resolva as inequações abaixo em termos dos intervalos e ilustre o conjunto solução na reta real:
(x-1)(x-2)>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação (x-1)(x-2)>0 e ilustrar o conjunto solução na reta real. As informações dadas são:
  • A expressão é o produto de dois fatores lineares: (x-1) e (x-2).
  • A desigualdade é estrita: >\,0 (portanto os pontos onde algum fator é zero não pertencem à solução).
  • Precisamos dar o conjunto solução em termos de intervalos e desenhá-lo na reta real.

Passo 2

Encontrar os pontos críticos (zeros) onde cada fator se anula, porque eles dividem a reta em intervalos onde o sinal do produto é constante.
Resolver (x-1)=0 \,x=1.
Resolver (x-2)=0 \,x=2.

Passo 3

Dividir a reta real pelos pontos críticos obtidos em três intervalos:
(-\infty,1),\qquad (1,2),\qquad (2,\infty).
Em cada um desses intervalos o sinal de (x-1)(x-2) será constante (pois os fatores são funções contínuas sem outras raízes).

Passo 4

Regra de sinais para produto: o produto de dois números é positivo quando ambos são positivos ou ambos são negativos. Como os fatores são lineares (mudam de sinal apenas em suas raízes), basta verificar o sinal de cada fator em cada intervalo ou testar um ponto representativo de cada intervalo.

Passo 5

Analisar o sinal em cada intervalo usando raciocínio sobre sinais (ou testando pontos):
  • Para x<1 (intervalo (-\infty,1)):
    (x-1)<0 e (x-2)<0. Dois negativos multiplicados dão positivo.
    Portanto (x-1)(x-2)>0 para todo x\in(-\infty,1).
    Exemplo numérico: em x=0, (0-1)(0-2)=(-1)(-2)=2>0.
  • Para 1<x<2 (intervalo (1,2)):
    (x-1)>0 e (x-2)<0. Sinais opostos dão produto negativo.
    Portanto (x-1)(x-2)<0 para todo x\in(1,2).
    Exemplo numérico: em x=1{,}5, (0{,}5)(-0{,}5)=-0{,}25<0.
  • Para x>2 (intervalo (2,\infty)):
    (x-1)>0 e (x-2)>0. Dois positivos multiplicados dão positivo.
    Portanto (x-1)(x-2)>0 para todo x\in(2,\infty).
    Exemplo numérico: em x=3, (2)(1)=2>0.

Passo 6

Juntando as partes onde a inequação é satisfeita e lembrando que as raízes x=1 e x=2 não pertencem à solução (porque a desigualdade é estrita), obtemos o conjunto solução:
(-\infty,1)\cup(2,\infty).

Passo 7

Ilustração na reta real (abertura nos pontos 1 e 2 para indicar que eles NÃO pertencem à solução; seta indica que a solução vai até -\infty e +\infty):
\longleftarrow\!\!\!——————— \circ——————— \bullet——————— \circ——————— \!\!\!\longrightarrow
Assinalando os pontos importantes com valores:
\longleftarrow\quad (-\infty)\quad\text{---}\quad \circ\\ \,1\\ \circ\quad\text{---}\quad \circ\\ \,2\\ \circ\quad\text{---}\quad \infty\\ \longrightarrow
Marcações sólidas representam os trechos de solução: a reta à esquerda de 1 e à direita de 2 estão pintadas (abertas em 1 e 2).

Resposta

(- \infty,1)\cup(2,\infty)

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