Resolva as equações abaixo:
\operatorname{sen} x=\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{7}\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\operatorname{sen} x=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{7}\right).
Informações dadas:
  • A incógnita é x (assumir x real, buscar a solução geral).
  • O valor do lado direito é \dfrac{\pi}{7}.
  • Não há restrição adicional de domínio fornecida, então vamos procurar todas as soluções reais.

Passo 2

Vamos usar uma identidade fundamental para equações do tipo \sin x=\sin y. Uma forma eficiente de obter a solução geral é transformar a diferença em produto. Lembremos da fórmula:
\sin x-\sin y=2\cos\!\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\!\left(\frac{x-y}{2}\right).
Se \sin x=\sin y, então \sin x-\sin y=0. Logo
2\cos\!\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\!\left(\frac{x-y}{2}\right)=0.
Um produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero, então obtemos duas possibilidades.

Passo 3

Primeira possibilidade: o fator \sin\!\left(\dfrac{x-y}{2}\right)=0. Isso acontece quando
\frac{x-y}{2}=k\pi\quad\text{com}\quad k\in\mathbb{Z}.
Multiplicando por 2 obtemos
x-y=2k\pi,
ou seja
x=y+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isto corresponde à periodicidade da função seno: \sin(x+2k\pi)=\sin x.

Passo 4

Segunda possibilidade: o fator \cos\!\left(\dfrac{x+y}{2}\right)=0. Isso ocorre quando
\frac{x+y}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\text{com}\quad k\in\mathbb{Z}.
Multiplicando por 2 obtemos
x+y=\pi+2k\pi,
ou seja
x=\pi-y+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Essa é a simetria do seno em torno de \pi/2: \sin(\pi-y)=\sin y.

Passo 5

Aplicando as duas formas gerais ao nosso caso com y=\dfrac{\pi}{7}:
  1. Pela primeira família:
x=\frac{\pi}{7}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  1. Pela segunda família:
x=\pi-\frac{\pi}{7}+2k\pi=\frac{6\pi}{7}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Verificação rápida (intuitiva): para k=0 obtemos x=\dfrac{\pi}{7} e x=\dfrac{6\pi}{7}. De fato \sin\!\left(\dfrac{6\pi}{7}\right)=\sin\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{7}\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{7}\right), conforme a identidade usada.

Resposta

x=\frac{\pi}{7}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}
x=\frac{6\pi}{7}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}

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