Resolva as equações abaixo: 3x^3 + 7x - 5 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . Aqui estamos lidando com uma equação cúbica, que envolve termos com elevados ao cubo. Para resolver, vamos precisar conhecer alguns métodos para encontrar raízes de polinômios, como o Teorema do Racional dos Zeros e possíveis fatorações.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar encontrar possíveis raízes racionais usando o Teorema do Racional dos Zeros. Esse teorema nos diz que qualquer raiz racional da equação é da forma , onde é um divisor do termo constante ( ) e é um divisor do coeficiente líder ( ).
No nosso caso, o termo constante é e o coeficiente líder é . Os divisores de são e os de são . Portanto, as possíveis raízes racionais são:

Passo 3

Vamos testar essas possíveis raízes substituindo na equação para ver se resultam em zero.
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Nenhuma dessas substituições resultou em zero, então não há raízes racionais óbvias.

Passo 4

Como não encontramos raízes racionais, vamos tentar fatorar a equação ou usar métodos numéricos para aproximar as raízes. Outra abordagem é plotar a função e observar onde ela cruza o eixo .
Vamos analisar o comportamento da função para valores de :
  • Para :
  • Para :
Como e , pela Teoria de Bolzano, existe pelo menos uma raiz real entre e .

Passo 5

Para encontrar a raiz com mais precisão, podemos usar o método de bissecção ou Newton-Raphson. Vamos usar uma abordagem simples de bissecção:
  1. Já sabemos que há uma raiz entre e .
  2. Vamos testar :
Como (negativo) e (positivo), a raiz está entre e .
  1. Vamos testar :
Agora, (positivo). Portanto, a raiz está entre e .
  1. Continuamos refinando esse intervalo até obter uma aproximação satisfatória. Para simplificar, vamos considerar que a raiz está aproximadamente em .

Resposta

A solução aproximada da equação é .

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