Resolva as equações abaixo em x :
\operatorname{sen}^{2}\left(\frac{x}{2}\right)+\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right)=0

Passo 1

O que o enunciado pede: resolver em x a equação
\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)+\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)=0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A incógnita é x (procuramos todas as soluções reais).
  • A função envolvida é a função seno aplicada a \frac{x}{2}.
  • Lembre-se que \operatorname{sen}(\theta) é periódica de período 2\pi e tem valores entre -1 e 1.

Passo 2

Primeiro passo algébrico conveniente: substituir para simplificar a expressão. Defina
t=\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Com essa substituição a equação vira uma quadrática simples em t:
t^{2}+t=0.
Explicação curta: isso é útil porque quadráticas são fáceis de resolver; estamos reduzindo a equação trigonométrica a uma equação algébrica.

Passo 3

Resolver a quadrática por fatoração. Podemos escrever
t^{2}+t=t(t+1)=0.
Portanto as soluções para t são
t=0\quad\text{ou}\quad t=-1.
Interpretação: voltamos à variável trigonométrica t=\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right) e resolvemos cada caso separadamente.

Passo 4

Caso 1: \operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)=0.
Quando a função seno é zero? Sabemos que \operatorname{sen}(\theta)=0 exatamente quando \theta é múltiplo inteiro de \pi, isto é,
\theta = k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
pela geometria do círculo unitário e pela periodicidade do seno. Aqui \theta=\frac{x}{2}, então
\frac{x}{2}=k\pi\quad\Rightarrow\quad x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Exemplos rápidos: k=0\Rightarrow x=0, k=1\Rightarrow x=2\pi, k=-1\Rightarrow x=-2\pi.

Passo 5

Caso 2: \operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)=-1.
A função seno vale -1 nos ângulos
\theta=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\quad\text{(ou equivalentemente }\theta=-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\text{)},\quad k\in\mathbb{Z},
porque o seno atinge -1 no ponto inferior do círculo unitário e depois se repete com período 2\pi. Tomando \theta=\frac{x}{2} temos
\frac{x}{2}=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=3\pi+4k\pi.
Fatorando \pi fica mais compacto:
x=(4k+3)\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Verificação rápida: para k=0 temos x=3\pi e \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1, então a equação fica 1-1=0, ok. Para k=-1 obtemos x=-\pi e \operatorname{sen}\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=-1, também ok.

Passo 6

Juntando as soluções dos dois casos, o conjunto completo de soluções reais é a união das duas famílias:
x=2k\pi\quad\text{ou}\quad x=(4k+3)\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Essas duas famílias são disjuntas (por exemplo x=\pi não pertence porque levaria \operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2})=1, que não satisfaz a equação).

Resposta

x=2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}
x=(4k+3)\pi,\;k\in\mathbb{Z}

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