Resolva as equações abaixo em x :
Passo 1
O que o enunciado pede: resolver em
a equação
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A incógnita é
(procuramos todas as soluções reais). - A função envolvida é a função seno aplicada a
. - Lembre-se que
é periódica de período e tem valores entre e .
Passo 2
Primeiro passo algébrico conveniente: substituir para simplificar a expressão. Defina
Com essa substituição a equação vira uma quadrática simples em
:
Explicação curta: isso é útil porque quadráticas são fáceis de resolver; estamos reduzindo a equação trigonométrica a uma equação algébrica.
Passo 3
Resolver a quadrática por fatoração. Podemos escrever
Portanto as soluções para
são
Interpretação: voltamos à variável trigonométrica
e resolvemos cada caso separadamente.
Passo 4
Caso 1:
.
Quando a função seno é zero? Sabemos que
exatamente quando
é múltiplo inteiro de
, isto é,
pela geometria do círculo unitário e pela periodicidade do seno. Aqui
, então
Exemplos rápidos:
,
,
.
Passo 5
Caso 2:
.
A função seno vale
nos ângulos
porque o seno atinge
no ponto inferior do círculo unitário e depois se repete com período
. Tomando
temos
Fatorando
fica mais compacto:
Verificação rápida: para
temos
e
, então a equação fica
, ok. Para
obtemos
e
, também ok.
Passo 6
Juntando as soluções dos dois casos, o conjunto completo de soluções reais é a união das duas famílias:
Essas duas famílias são disjuntas (por exemplo
não pertence porque levaria
, que não satisfaz a equação).