Resolva as equaçōes abaixo.
y^prime prime+4 y=2 cos (2 x)+x

Passo 1

O exercício pede pra resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea y'' + 4y = 2cos(2x) + x. Aqui o conteúdo é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. A gente vai precisar: a solução geral da parte homogênea (usando a equação característica) e depois uma solução particular para cada termo do lado direito ( 2cos(2x) e x).

Passo 2

Primeiro, resolvemos a parte homogênea, ou seja, a equação y'' + 4y = 0. A gente monta a equação característica

Passo 3

r^2 + 4 = 0

Passo 4

que tem raízes r = pm 2i. Como são raízes imaginárias, a solução homogênea é

Passo 5

yh(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x)

Passo 6

Agora, vamos achar uma solução particular para o termo 2cos(2x). Como cos(2x) já está na homogênea, tem ressonância. A gente tenta

Passo 7

yp1(x) = xl(Acos(2x) + Bsin(2x)r)

Passo 8

Vamos calcular yp1'' + 4yp1. Depois de derivar e simplificar, obtemos

Passo 9

yp1'' + 4yp1 = 4Bcos(2x) - 4Asin(2x)

Passo 10

Para igualar a 2cos(2x), a gente iguala coeficientes:

Passo 11

4B = 2,
-4A = 0

Passo 12

Logo B = tfrac12 e A = 0. Assim

Passo 13

yp1(x) = tfrac12,xsin(2x)

Passo 14

Depois, precisamos de uma solução particular para o termo x. Como é polinômio de grau 1, tentamos

Passo 15

yp2(x) = Mx + N

Passo 16

Como yp2'' = 0, substituindo em y'' + 4y = x

Passo 17

4(Mx + N) = x

Passo 18

Logo

Passo 19

4M = 1 e 4N = 0

Passo 20

Daí M = tfrac14 e N = 0, ou seja

Passo 21

yp2(x) = tfrac14,x

Passo 22

Agora somamos as partes particular e homogênea para ter a solução geral

Passo 23

y(x) = yh(x) + yp1(x) + yp2(x)

Resposta

A solução geral é:
y(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x) + tfrac12,xsin(2x) + tfrac14,x

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