Resolva as equaçōes abaixo.
Passo 1
O exercício pede pra resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
. Aqui o conteúdo é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. A gente vai precisar: a solução geral da parte homogênea (usando a equação característica) e depois uma solução particular para cada termo do lado direito (
e
).
Passo 2
Primeiro, resolvemos a parte homogênea, ou seja, a equação
. A gente monta a equação característica
Passo 3
Passo 4
que tem raízes
. Como são raízes imaginárias, a solução homogênea é
Passo 5
Passo 6
Agora, vamos achar uma solução particular para o termo
. Como
já está na homogênea, tem ressonância. A gente tenta
Passo 7
Passo 8
Vamos calcular
. Depois de derivar e simplificar, obtemos
Passo 9
Passo 10
Para igualar a
, a gente iguala coeficientes:
Passo 11
4B = 2,
-4A = 0
-4A = 0
Passo 12
Logo
e
. Assim
Passo 13
Passo 14
Depois, precisamos de uma solução particular para o termo
. Como é polinômio de grau 1, tentamos
Passo 15
Passo 16
Como
, substituindo em
dá
Passo 17
Passo 18
Logo
Passo 19
4M = 1 e 4N = 0
Passo 20
Daí
e
, ou seja
Passo 21
Passo 22
Agora somamos as partes particular e homogênea para ter a solução geral
Passo 23
Resposta
A solução geral é: