Resolva o PVI
l x y^prime+y=e^x y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por
x y'(x) + y(x) = e^x,
com a condição y(1)=2. O conteúdo aqui é equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos pôr a equação na forma padrão
y' + 1x,y = e^xx
Reconhecemos que o coeficiente de y é 1/x, então o fator integrante é
mu(x) = e^integral 1x,dx = e^ln x = x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=x. O lado esquerdo vira a derivada do produto:
x y' + y = ddxl(x yr)
Assim temos
ddxl(x yr) = e^x
Integrando em relação a x:
x y = integral e^x ,dx = e^x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Agora usamos a condição inicial y(1)=2. Substituindo x=1 e y=2 em x y = e^x + C:
1 cdot 2 = e^1 + C implies C = 2 - e
Portanto a solução geral com essa constante é
y(x) = e^x + 2 - ex

Resposta

y(x)=dfrace^x + 2 - ex

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