Resolva as equações:
b) 3^{x}=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
3^{x} = \tfrac{1}{2}.
O conteúdo envolvido é equação exponencial e logaritmo: vamos usar a ideia de que, quando temos a^{x}=b, podemos “desgrudar” o expoente x aplicando logaritmo em ambos os lados.

Passo 2

A definição básica de logaritmo diz que, se
a^{x} = b,
então
x = \log_{a}(b).
No nosso caso a=3 e b=\tfrac12, logo
x = \log_{3}\!\bigl(\tfrac12\bigr).

Passo 3

Para escrever \log_{3}(\tfrac12) numa forma que dê para calcular diretamente, usamos a fórmula de mudança de base:
\log_{3}\!\bigl(\tfrac12\bigr) = \frac{\ln\!\bigl(\tfrac12\bigr)}{\ln(3)}.
Sabendo que \ln(\tfrac12)=\ln(1)-\ln(2)=-\ln(2), concluímos
x = \frac{-\ln(2)}{\ln(3)}.

Resposta

x = \frac{\ln\bigl(\tfrac12\bigr)}{\ln(3)} = -\frac{\ln(2)}{\ln(3)}.

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