Para a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2 p}}, determine para quais valores de p a série converge.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2p}}
e pede para determinar para quais valores de p ela converge. Esse problema envolve o critério de convergência das p-séries, que diz respeito à soma
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{q}}.

Passo 2

No critério de p-série, sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{q}}
converge se, e somente se, q>1. No nosso caso, o expoente é
q = 2p.

Passo 3

Aplicando a condição q>1, temos
2p > 1
que implica
p > \tfrac12.

Passo 4

Concluímos então que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2p}}
converge quando p>\tfrac12 e diverge quando p\le \tfrac12.

Resposta

A série converge se, e somente se, p>\tfrac12.

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