Resolva as equações de Bernoulli
Passo 1
O problema pede para resolver a equação diferencial ordinarya dada por
Informações fornecidas:
A tarefa é encontrar a solução geral
(ou as soluções gerais), incluindo constantes de integração que apareçam.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: vamos reescrever a equação de forma mais explícita para
. Se
não for identicamente zero podemos dividir ambos os lados por
. Dividindo por
obtemos
Observação importante (que cuidaremos depois): a possibilidade
pode ser uma solução trivial e deve ser verificada separadamente.
Passo 3
Reconhecendo o tipo de equação (aqui eu explico o método passo a passo): a equação
pode ser escrita na forma padrão de Bernoulli
onde, comparando termo a termo, temos
,
e
.
A técnica padrão para uma equação de Bernoulli é aplicar a substituição
Vou explicar por que isso transforma a equação numa equação linear: calculamos a derivada de
em função de
:
Agora substituímos
na expressão acima:
Como
, temos
ou rearranjando,
Note: essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
.
Passo 4
Agora resolvemos a equação linear
Vou usar fator integrante: o fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada de
, isto é,
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Assim
Passo 5
Voltando à substituição
, temos
Invertendo ambos os lados para obter
,
Podemos simplificar esta expressão para uma forma mais elegante. Multiplicando numerador e denominador convenientemente:
Se preferirmos, renomeamos a constante
(é comum e facilita a escrita), ficando
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 6
Não esqueçamos a observação feita no Passo 2: a função
(solução identicamente zero) também satisfaz a equação original. Logo as soluções completas são a solução trivial
e a família dada pela fórmula com constante arbitrária
.
Também é bom notar (para a prova) que para valores de
tais que
a solução usa-se com cuidado: aí a expressão se anula no denominador e a solução explode (discontinuidade), o que corresponde a soluções com intervalo de existência limitado — mas isso não invalida a família geral obtida.