Resolva as equações de Bernoulli
v \frac{d v}{d x}=v^{2}-e^{2 x} v^{3}

Passo 1

O problema pede para resolver a equação diferencial ordinarya dada por
v\,\frac{dv}{dx}=v^{2}-e^{2x}v^{3}.
Informações fornecidas:
\text{variável independente: }x,\qquad \text{variável dependente: }v(x).áá
A tarefa é encontrar a solução geral v(x) (ou as soluções gerais), incluindo constantes de integração que apareçam.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: vamos reescrever a equação de forma mais explícita para \dfrac{dv}{dx}. Se v(x) não for identicamente zero podemos dividir ambos os lados por v. Dividindo por v obtemos
\frac{dv}{dx}=v-e^{2x}v^{2}.
Observação importante (que cuidaremos depois): a possibilidade v\equiv 0 pode ser uma solução trivial e deve ser verificada separadamente.

Passo 3

Reconhecendo o tipo de equação (aqui eu explico o método passo a passo): a equação
\frac{dv}{dx}=v-e^{2x}v^{2}
pode ser escrita na forma padrão de Bernoulli
\frac{dv}{dx}+p(x)v=q(x)v^{n},
onde, comparando termo a termo, temos p(x)=-1, q(x)=-e^{2x} e n=2.
A técnica padrão para uma equação de Bernoulli é aplicar a substituição
u=v^{1-n}=v^{1-2}=v^{-1}.
Vou explicar por que isso transforma a equação numa equação linear: calculamos a derivada de u em função de v:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(v^{-1})=-v^{-2}\frac{dv}{dx}.
Agora substituímos \dfrac{dv}{dx}=v-e^{2x}v^{2} na expressão acima:
\frac{du}{dx}=-v^{-2}\bigl(v-e^{2x}v^{2}\bigr)=-v^{-1}+e^{2x}.
Como v^{-1}=u, temos
\frac{du}{dx}=-u+e^{2x},
ou rearranjando,
\frac{du}{dx}+u=e^{2x}.
Note: essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para u(x).

Passo 4

Agora resolvemos a equação linear
\frac{du}{dx}+u=e^{2x}.
Vou usar fator integrante: o fator integrante é
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
e^{x}\frac{du}{dx}+e^{x}u = e^{x}e^{2x}=e^{3x}.
O lado esquerdo é a derivada de e^{x}u, isto é,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}u\bigr)=e^{3x}.
Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{x}u=\int e^{3x}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x}+C,
onde C é a constante de integração. Assim
u(x)=\frac{1}{3}e^{2x}+Ce^{-x}.

Passo 5

Voltando à substituição u=v^{-1}, temos
v^{-1}=\frac{1}{3}e^{2x}+Ce^{-x}.
Invertendo ambos os lados para obter v,
v(x)=\frac{1}{\dfrac{1}{3}e^{2x}+Ce^{-x}}.
Podemos simplificar esta expressão para uma forma mais elegante. Multiplicando numerador e denominador convenientemente:
v(x)=\frac{e^{x}}{\dfrac{1}{3}e^{3x}+C}=\frac{3e^{x}}{e^{3x}+3C}.
Se preferirmos, renomeamos a constante K=3C (é comum e facilita a escrita), ficando
v(x)=\frac{3e^{x}}{e^{3x}+K},
onde K é uma constante arbitrária real.

Passo 6

Não esqueçamos a observação feita no Passo 2: a função v\equiv 0 (solução identicamente zero) também satisfaz a equação original. Logo as soluções completas são a solução trivial v\equiv 0 e a família dada pela fórmula com constante arbitrária K.
Também é bom notar (para a prova) que para valores de x tais que e^{3x}+K=0 a solução usa-se com cuidado: aí a expressão se anula no denominador e a solução explode (discontinuidade), o que corresponde a soluções com intervalo de existência limitado — mas isso não invalida a família geral obtida.

Resposta

v(x)\equiv 0
v(x)=\dfrac{3e^{x}}{e^{3x}+K}, onde K é uma constante real arbitrária.

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