Resolva usando o método adequado:
y^{\prime}=\frac{4 t{2}+y{2}}{t y};

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = \frac{4t^{2} + y^{2}}{t\,y}.
Esse tipo de equação não é exata nem separável diretamente, mas percebemos que se fizermos a substituição
u = y^{2},
o lado direito fica mais simples e a equação se torna linear em u.

Passo 2

Com u = y^{2} temos
\frac{du}{dt} = 2y\,\frac{dy}{dt}.
Como \frac{dy}{dt} = \frac{4t^{2}+y^{2}}{t\,y}, segue
\frac{du}{dt} = 2y \cdot \frac{4t^{2}+y^{2}}{t\,y} = \frac{2\,(4t^{2}+y^{2})}{t} = \frac{8t^{2}}{t} + \frac{2y^{2}}{t} = 8t + \frac{2u}{t}.
Logo a equação em u é
\frac{du}{dt} - \frac{2}{t}\,u = 8t.

Passo 3

Essa é uma equação linear de coeficientes variáveis. Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\!\Bigl(-\int \frac{2}{t}\,dt\Bigr) = \exp(-2\ln|t|) = t^{-2}.
Multiplicando a equação por t^{-2} obtemos
t^{-2}\frac{du}{dt} - \frac{2}{t}t^{-2}u = 8t\cdot t^{-2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(u\,t^{-2}\bigr) = \frac{8}{t}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
u\,t^{-2} = \int \frac{8}{t}\,dt = 8\ln|t| + C,
onde C é a constante de integração. Portanto
u = y^{2} = t^{2}\bigl(8\ln|t| + C\bigr).

Passo 5

Voltando à variável y, a solução geral é
y(t) = \pm t\sqrt{8\ln|t| + C}.

Resposta

y^{2} = t^{2}\bigl(8\ln|t| + C\bigr) \quad\Longleftrightarrow\quad y(t) = \pm t\sqrt{8\ln|t| + C}.

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