Resolva as equações:
c)
c)
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para encontrar o(s) valor(es) de
que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes: a base é
(um número positivo e diferente de
), os expoentes são expressões lineares em
, e precisamos resolver para
.
Passo 2
Propriedade fundamental que vamos usar (explicando devagar): se uma mesma base positiva e diferente de
é elevada a duas potências e o resultado é igual, então os expoentes dessas potências também são iguais. Em outras palavras, para
e
,
Por que isso vale? Um motivo simples: a função
é “um-para-um” (injeta valores diferentes em resultados diferentes) quando
e
. Outra forma de ver: se
então dividindo ambos os lados por
(que é diferente de zero) obtemos
. Para
e
, a única potência que dá
é a potência zero, logo
, isto é,
.
Como aqui a base é
(que satisfaz
e
), podemos aplicar essa propriedade e igualar os expoentes da nossa equação.
Passo 3
Igualando os expoentes obtemos a equação linear em
:
Agora resolvemos essa equação passo a passo. Primeiro, vou juntar os termos com
num lado e os constantes no outro. Subtraio
de ambos os lados (isso mantém a igualdade):
Isso simplifica para
Agora somo
em ambos os lados para isolar o termo com
:
Logo
Por fim, divido ambos os lados por
(dividir ambos os lados por um número diferente de zero preserva a igualdade):
Passo 4
Vamos verificar substituindo
na equação original para garantir que não houve erro aritmético. Calculo os expoentes:
esquerda:
direita:
Como os dois expoentes ficaram iguais (
), os dois lados valem
e a igualdade se confirma. Portanto
é solução.
Passo 5
Dica rápida para a prova: sempre veja primeiro se as bases são iguais e válidas (
e
). Se sim, equacione os expoentes — isso costuma economizar bastante tempo. Se as bases fossem diferentes, aí usaríamos logaritmo, mas aqui não é necessário.