Resolva as equações:
c) 7^{2 x-3}=7^{6+5 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação
7^{2x-3}=7^{6+5x}
e pede para encontrar o(s) valor(es) de x que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes: a base é \;7\; (um número positivo e diferente de 1), os expoentes são expressões lineares em x, e precisamos resolver para x.

Passo 2

Propriedade fundamental que vamos usar (explicando devagar): se uma mesma base positiva e diferente de 1 é elevada a duas potências e o resultado é igual, então os expoentes dessas potências também são iguais. Em outras palavras, para \;a>0 e \;a\neq1,
a^{u}=a^{v}\quad\Longrightarrow\quad u=v.
Por que isso vale? Um motivo simples: a função t\mapsto a^{t} é “um-para-um” (injeta valores diferentes em resultados diferentes) quando a>0 e a\neq1. Outra forma de ver: se a^{u}=a^{v} então dividindo ambos os lados por a^{v} (que é diferente de zero) obtemos a^{u-v}=1. Para a>0 e a\neq1, a única potência que dá 1 é a potência zero, logo u-v=0, isto é, u=v.
Como aqui a base é \;7 (que satisfaz 7>0 e 7\neq1), podemos aplicar essa propriedade e igualar os expoentes da nossa equação.

Passo 3

Igualando os expoentes obtemos a equação linear em x:
2x-3 = 6+5x.
Agora resolvemos essa equação passo a passo. Primeiro, vou juntar os termos com x num lado e os constantes no outro. Subtraio 5x de ambos os lados (isso mantém a igualdade):
2x-5x-3 = 6.
Isso simplifica para
-3x-3 = 6.
Agora somo 3 em ambos os lados para isolar o termo com x:
-3x = 6+3.
Logo
-3x = 9.
Por fim, divido ambos os lados por -3 (dividir ambos os lados por um número diferente de zero preserva a igualdade):
x = \frac{9}{-3} = -3.

Passo 4

Vamos verificar substituindo x=-3 na equação original para garantir que não houve erro aritmético. Calculo os expoentes:
esquerda:
2x-3 = 2(-3)-3 = -6-3 = -9,
direita:
6+5x = 6+5(-3) = 6-15 = -9.
Como os dois expoentes ficaram iguais ( -9), os dois lados valem 7^{-9} e a igualdade se confirma. Portanto x=-3 é solução.

Passo 5

Dica rápida para a prova: sempre veja primeiro se as bases são iguais e válidas ( >0 e \neq1). Se sim, equacione os expoentes — isso costuma economizar bastante tempo. Se as bases fossem diferentes, aí usaríamos logaritmo, mas aqui não é necessário.

Resposta

-3

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