Resolva as equações de 2^{\circ} grau incompletas sem usar a Fórmula de Bhaskara.
3 x^{2}+48=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação do 2.º grau incompleta abaixo sem usar Bhaskara:
3x^{2}+48=0
Informações dadas:
  • Coeficientes: a=3, b=0, c=48.
  • Pergunta: encontrar todas as soluções x (podem ser reais ou complexas).

Passo 2

Observação sobre equações quadráticas incompletas do tipo ax^{2}+c=0:
Quando a equação tem b=0, é mais simples isolar x^{2} em vez de aplicar Bhaskara. A ideia é usar que se
ax^{2}+c=0
então
ax^{2}=-c\quad\Rightarrow\quad x^{2}=-\frac{c}{a}.
Depois, toma-se raiz quadrada dos dois lados. Lembrete importante: se x^{2}=R, então x=\pm\sqrt{R}. Se R for negativo não existem raízes reais e precisamos usar números complexos.

Passo 3

Aplicando esse procedimento à equação dada: primeiro isolar x^{2}.
3x^{2}+48=0\quad\Rightarrow\quad 3x^{2}=-48.
Dividindo ambos os lados por 3:
x^{2}=-16.

Passo 4

Interpretando \,x^{2}=-16: nenhum número real ao quadrado dá um número negativo, portanto não há soluções reais. Introduzimos a unidade imaginária \,i definida por \,i^{2}=-1. Assim,
\sqrt{-16}=\sqrt{16}\,\sqrt{-1}=4i.
Como sempre que x^{2}=R temos x=\pm\sqrt{R}, obtemos as soluções complexas:
x=\pm 4i.

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): calcular 3x^{2}+48 para x=4i e x=-4i.
3(4i)^{2}+48=3\cdot16i^{2}+48=48\cdot(-1)+48=0,
3(-4i)^{2}+48=3\cdot16i^{2}+48=0.
Ambas satisfazem a equação, logo as soluções estão corretas.

Passo 6

Dica prática para a prova (memorização útil):
  • Se a equação for ax^{2}+c=0, faça x^{2}=-\dfrac{c}{a} e então x=\pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}. Se -\dfrac{c}{a}>0 dá raízes reais; se for negativo dá raízes complexas (usar i).
  • Se a equação for ax^{2}+bx=0, fatorar x(ax+b)=0 e obter x=0 ou x=-\dfrac{b}{a}. Esses métodos são muito mais rápidos do que Bhaskara nesses casos.

Resposta

x=4i
x=-4i

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