Resolva as equações, considere que x \in[0,2 \pi) : Sugestão: Quando necessário utilize as fórmulas de \operatorname{sen}(2 x) e de \cos (2 x).
\cos (2 x)+6 \operatorname{sen}^{2} x=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\cos(2x)+6\operatorname{sen}^{2}x=4
no intervalo x\in[0,2\pi). As informações relevantes são:
  • A incógnita é x e o domínio é 0 \le x < 2\pi.
  • Foi sugerido usar as fórmulas de \operatorname{sen}(2x) e de \cos(2x). Em particular, uma forma útil que ligam \cos(2x) e \operatorname{sen}^{2}x é a identidade que expressa \cos(2x) em função de \operatorname{sen}^{2}x.

Passo 2

Vou usar a identidade que relaciona \cos(2x) com \operatorname{sen}^{2}x. Essa identidade vem de \cos(2x)=\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x e usando \cos^{2}x=1-\operatorname{sen}^{2}x obtém-se:
\cos(2x)=1-2\operatorname{sen}^{2}x.
Aqui \operatorname{sen}^{2}x significa (\operatorname{sen}x)^{2}. Vou substituir essa expressão na equação original.

Passo 3

Substituindo \cos(2x)=1-2\operatorname{sen}^{2}x na equação dada:
(1-2\operatorname{sen}^{2}x)+6\operatorname{sen}^{2}x=4.
Agora faço a soma dos termos em \operatorname{sen}^{2}x:
1+4\operatorname{sen}^{2}x=4.
Subtraindo 1 de ambos os lados:
4\operatorname{sen}^{2}x=3.
Dividindo por 4:
\operatorname{sen}^{2}x=\frac{3}{4}.

Passo 4

Da igualdade \operatorname{sen}^{2}x=\dfrac{3}{4} segue que
\operatorname{sen}x=\pm\sqrt{\frac{3}{4}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}.
Agora determinamos os ângulos em [0,2\pi) cujo seno vale \frac{\sqrt{3}}{2} e -\frac{\sqrt{3}}{2}.
  • Para \operatorname{sen}x=\frac{\sqrt{3}}{2}: o ângulo de referência é \frac{\pi}{3}. Os ângulos no intervalo com seno positivo são no primeiro e segundo quadrantes, portanto
x=\frac{\pi}{3}\quad\text{e}\quad x=\frac{2\pi}{3}.
  • Para \operatorname{sen}x=-\frac{\sqrt{3}}{2}: o seno negativo ocorre no terceiro e quarto quadrantes; os ângulos correspondentes são
x=\frac{4\pi}{3}\quad\text{e}\quad x=\frac{5\pi}{3}.

Passo 5

Verificação rápida (exemplo): para x=\frac{\pi}{3} tem-se \cos(2x)=\cos\!\big(\tfrac{2\pi}{3}\big)=-\tfrac{1}{2} e \operatorname{sen}^{2}\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)^{2}=\tfrac{3}{4}. Então
\cos(2x)+6\operatorname{sen}^{2}x=-\tfrac{1}{2}+6\cdot\tfrac{3}{4}=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{9}{2}=4,
logo a solução está correta. Pelas simetrias da função seno, as quatro soluções acima satisfazem a equação e não há outras em [0,2\pi).

Resposta

\displaystyle x=\frac{\pi}{3}
\displaystyle x=\frac{2\pi}{3}
\displaystyle x=\frac{4\pi}{3}
\displaystyle x=\frac{5\pi}{3}

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