Resolva as equações:
d) 6^{x^{2}-1}=6^{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
6^{x^{2}-1}=6^{1-x^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A base é \;6\;, que é um número positivo e diferente de 1.
  • Os expoentes são \;x^{2}-1\; (à esquerda) e \;1-x^{2}\; (à direita).
  • A incógnita é x (presumimos x real).
    Nada mais é pedido além de encontrar todos os valores de x que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Propriedade chave que vamos usar (explicada com calma): se uma base a satisfaz \;a>0\; e \;a\neq 1\;, então a função t\mapsto a^{t} é injetora — isto é, não dá para ter a^{u}=a^{v} com u\neq v. Intuição rápida: para \;a>1\; a função é estritamente crescente e para \;0<a<1\; é estritamente decrescente; em ambos os casos cada valor do lado de fora corresponde a exatamente um expoente. Como aqui a=6>1, podemos concluir que, para que
6^{x^{2}-1}=6^{1-x^{2}},
é necessário e suficiente que os expoentes sejam iguais:
x^{2}-1=1-x^{2}.

Passo 3

Agora resolvemos a equação algébrica obtida dos expoentes. Partimos de
x^{2}-1=1-x^{2}.
Vou isolar os termos com x^{2}. Somando x^{2} em ambos os lados:
x^{2}+x^{2}-1=1.
Isso dá
2x^{2}-1=1.
Agora somamos 1 em ambos os lados:
2x^{2}=2.
Dividindo por 2:
x^{2}=1.

Passo 4

Para encontrar x tiramos a raiz quadrada em ambos os lados. Lembrando que x pode ser positivo ou negativo:
x=\pm\sqrt{1}=\pm 1.
Sempre que resolvermos uma equação quadrática assim, devemos verificar as soluções no enunciado original. Substituindo x=1 temos \;6^{1^{2}-1}=6^{0}=1\; e \;6^{1-1^{2}}=6^{0}=1, então x=1 serve. Substituindo x=-1 temos x^{2}=1 também, logo os dois lados novamente valem 6^{0}=1; portanto x=-1 também serve. Não há outras soluções.

Resposta

\displaystyle x=1
\displaystyle x=-1

Exercícios relacionados