Resolva as equações:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A base é
, que é um número positivo e diferente de . - Os expoentes são
(à esquerda) e (à direita). - A incógnita é
(presumimos real).
Nada mais é pedido além de encontrar todos os valores deque satisfazem a igualdade.
Passo 2
Propriedade chave que vamos usar (explicada com calma): se uma base
satisfaz
e
, então a função
é injetora — isto é, não dá para ter
com
. Intuição rápida: para
a função é estritamente crescente e para
é estritamente decrescente; em ambos os casos cada valor do lado de fora corresponde a exatamente um expoente. Como aqui
, podemos concluir que, para que
é necessário e suficiente que os expoentes sejam iguais:
Passo 3
Agora resolvemos a equação algébrica obtida dos expoentes. Partimos de
Vou isolar os termos com
. Somando
em ambos os lados:
Isso dá
Agora somamos
em ambos os lados:
Dividindo por
:
Passo 4
Para encontrar
tiramos a raiz quadrada em ambos os lados. Lembrando que
pode ser positivo ou negativo:
Sempre que resolvermos uma equação quadrática assim, devemos verificar as soluções no enunciado original. Substituindo
temos
e
, então
serve. Substituindo
temos
também, logo os dois lados novamente valem
; portanto
também serve. Não há outras soluções.