Use a definição de logarítmo para encontrar x.
j) \log _{x} 8=\frac{3}{2}

Passo 1

O enunciado pede encontrar x sabendo que \log_{x} 8 = \frac{3}{2}.
Informações dadas:
  • a base do logaritmo é x;
  • o argumento (o número cujo logaritmo é tomado) é 8;
  • o valor do logaritmo é \tfrac{3}{2}.
Observações importantes fornecidas pelo enunciado (condições que valem sempre para logaritmos):
  • a base deve satisfazer x>0 e x\neq 1;
  • o argumento 8 é positivo, então essa condição está ok.

Passo 2

Usamos a definição de logaritmo: a igualdade
\log_{b} a = c
significa, por definição, que
b^{c} = a.
Aqui b é a base, a é o argumento, e c é o valor do logaritmo. Isso é a regra fundamental que converte um logaritmo em uma potência — decorre direto da definição de logaritmo.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso, com b=x, a=8 e c=\tfrac{3}{2}, obtemos
x^{\tfrac{3}{2}} = 8.

Passo 4

Para isolar x numa expressão do tipo x^{\tfrac{3}{2}}=8 usamos a propriedade de potências (a^{m})^{n}=a^{mn}. Se elevamos ambos os lados à potência \tfrac{2}{3} (que é o inverso de \tfrac{3}{2}), temos
\bigl(x^{\tfrac{3}{2}}\bigr)^{\tfrac{2}{3}} = 8^{\tfrac{2}{3}}.
Pela propriedade anterior o lado esquerdo fica x^{(\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{2}{3})}=x^{1}=x. Logo
x = 8^{\tfrac{2}{3}}.
Explicando o que significa a^{\tfrac{m}{n}}: é a mesma coisa que \sqrt[n]{a^{m}} (ou seja, primeiro eleva a m e depois tira a raiz n-ésima) — ou equivalentemente (\sqrt[n]{a})^{m}. Exemplo rápido: 27^{\tfrac{2}{3}}=(3^3)^{\tfrac{2}{3}}=3^{2}=9.

Passo 5

Vamos calcular 8^{\tfrac{2}{3}}. Note que 8=2^{3}. Então
8^{\tfrac{2}{3}} = \bigl(2^{3}\bigr)^{\tfrac{2}{3}} = 2^{3\cdot \tfrac{2}{3}} = 2^{2} = 4.
Portanto x=4.

Passo 6

Verificação rápida: calcular \log_{4}8. Usando a definição inversa: 4^{\tfrac{3}{2}} = (\sqrt{4})^{3} = 2^{3} = 8. Então \log_{4}8=\tfrac{3}{2}, que coincide com o enunciado. Além disso x=4 satisfaz as condições x>0 e x\neq1.

Resposta

4

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