Resolva as equações:
\left(t^{2}+1\right) \frac{d y}{d t}=y t-y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
(t^2+1)\,\frac{dy}{dt} = y\,t - y
que é separável, pois podemos agrupar todos os termos com y de um lado e com t do outro.

Passo 2

Dividindo por t^2+1 e por y, obtemos
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dt} = \frac{t-1}{t^2+1}
e, em seguida, separamos as variáveis:
\frac{1}{y}\,dy = \frac{t-1}{t^2+1}\,dt.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{t-1}{t^2+1}\,dt = \int \frac{t}{t^2+1}\,dt - \int \frac{1}{t^2+1}\,dt.
Sabemos que
\int \frac{t}{t^2+1}\,dt = \tfrac12\ln(t^2+1), \qquad \int \frac{1}{t^2+1}\,dt = \arctan(t),
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\ln|y| = \tfrac12\ln(t^2+1) - \arctan(t) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Exponenciando ambos os lados e definindo A=e^C, escrevemos a solução geral como
y(t) = A\,(t^2+1)^{1/2}\,e^{-\arctan(t)},
onde A é constante arbitrária.

Resposta

y(t) = A\,\sqrt{t^2+1}\,e^{-\arctan(t)},\qquad A\in\mathbb{R}.

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