Resolva as equações dadas usando o método
de variação dos parâmetros:
sabendo que y_{1}=\cos (\ln x) e y_{2}=\sin (x \ln x) formam um conjunto
fundamental de soluções para a edo x^{2} y "-x y^{\prime}+y=0 em ( 0,+\infty );
Encontre a solução geral para x^{2} y "-x y^{\prime}+y=\operatorname{sec} (x \ln x). Qual o novo intervalo de solução?

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por variação de parâmetros, a equação não-homogênea
x^{2}y''+x\,y'+y=\operatorname{sec}\bigl(x\ln x\bigr)
sabendo que um conjunto fundamental de soluções da homogênea
x^{2}y''+x\,y'+y=0
é dado por
y_{1}(x)=\cos\bigl(\ln x\bigr),\quad y_{2}(x)=\sin\bigl(\ln x\bigr).
O que vamos precisar é (1) o Wronskiano W(y_1,y_2), (2) as fórmulas de variação de parâmetros
u_1'=-\frac{y_2\,g(x)}{W},\quad u_2'=\frac{y_1\,g(x)}{W},
onde g(x) é o termo não-homogêneo dividido pelo coeficiente de y''.

Passo 2

Dividimos a equação por x^2 para colocá-la no formato
y''+p(x)y'+q(x)y = g(x),
ficando
y'' + \frac{1}{x}y' + \frac{1}{x^2}y = \frac{\operatorname{sec}(x\ln x)}{x^2}.
Logo
g(x)=\frac{\operatorname{sec}(x\ln x)}{x^2}.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano de y_1 e y_2:
y_1'=-\frac{1}{x}\,\sin(\ln x),\quad y_2'=\frac{1}{x}\,\cos(\ln x),
W = y_1\,y_2' - y_1'\,y_2 = \cos(\ln x)\cdot\frac{\cos(\ln x)}{x} -\Bigl(-\frac{\sin(\ln x)}{x}\Bigr)\sin(\ln x) = \frac{1}{x}\bigl(\cos^2(\ln x)+\sin^2(\ln x)\bigr) = \frac{1}{x}.

Passo 4

Aplicamos as fórmulas de variação de parâmetros:
u_1'(x) = -\frac{y_2(x)\,g(x)}{W(x)} = -\frac{\sin(\ln x)\,\frac{\operatorname{sec}(x\ln x)}{x^2}}{\tfrac1x} = -\frac{\sin(\ln x)\,\operatorname{sec}(x\ln x)}{x},
u_2'(x) = \frac{y_1(x)\,g(x)}{W(x)} = \frac{\cos(\ln x)\,\frac{\operatorname{sec}(x\ln x)}{x^2}}{\tfrac1x} = \frac{\cos(\ln x)\,\operatorname{sec}(x\ln x)}{x}.

Passo 5

Integramos para obter u_1 e u_2:
u_1(x) = -\int \frac{\sin(\ln x)\,\operatorname{sec}(x\ln x)}{x}\,dx, \quad u_2(x) = \int \frac{\cos(\ln x)\,\operatorname{sec}(x\ln x)}{x}\,dx.
Não existe forma elementar simples para essas integrais, então as deixamos em forma de quadratura.

Passo 6

A solução geral da não-homogênea fica
y(x) = C_{1}\cos(\ln x) + C_{2}\sin(\ln x) + u_{1}(x)\cos(\ln x) + u_{2}(x)\sin(\ln x),
isto é,
\boxed{ y(x) = C_{1}\cos(\ln x) + C_{2}\sin(\ln x) - \cos(\ln x)\!\!\int^{x}\! \frac{\sin(\ln t)\,\operatorname{sec}(t\ln t)}{t}\,dt + \sin(\ln x)\!\!\int^{x}\! \frac{\cos(\ln t)\,\operatorname{sec}(t\ln t)}{t}\,dt }.

Passo 7

O termo \operatorname{sec}(x\ln x) exige que \cos(x\ln x)\neq0. Mantemos também x>0 (pela ocorrência de \ln x).

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_{1}\cos(\ln x) + C_{2}\sin(\ln x) - \cos(\ln x)\!\int^{x}\! \frac{\sin(\ln t)\,\operatorname{sec}(t\ln t)}{t}\,dt + \sin(\ln x)\!\int^{x}\! \frac{\cos(\ln t)\,\operatorname{sec}(t\ln t)}{t}\,dt,
válida em cada subintervalo de (0,\infty) onde \cos\bigl(x\ln x\bigr)\neq0.

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