Resolva as equações dadas usando o método
de variação dos parâmetros:
sabendo que
e
formam um conjunto
fundamental de soluções para a edo
em (
);
Encontre a solução geral para
. Qual o novo intervalo de solução?
de variação dos parâmetros:
sabendo que
fundamental de soluções para a edo
Encontre a solução geral para
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por variação de parâmetros, a equação não-homogênea
sabendo que um conjunto fundamental de soluções da homogênea
é dado por
O que vamos precisar é (1) o Wronskiano
, (2) as fórmulas de variação de parâmetros
onde
é o termo não-homogêneo dividido pelo coeficiente de
.
Passo 2
Dividimos a equação por
para colocá-la no formato
ficando
Logo
Passo 3
Calculamos o Wronskiano de
e
:
Passo 4
Aplicamos as fórmulas de variação de parâmetros:
Passo 5
Integramos para obter
e
:
Não existe forma elementar simples para essas integrais, então as deixamos em forma de quadratura.
Passo 6
A solução geral da não-homogênea fica
isto é,
Passo 7
O termo
exige que
. Mantemos também
(pela ocorrência de
).
Resposta
A solução geral é
válida em cada subintervalo de
onde
.