A velocidade média em um cruzamento é dada por:
v(t)=-2 t^{2}+8 t+10
Entre 12 h e 16 h , em que instante o trânsito está mais rápido?

Passo 1

O enunciado dá a velocidade média em função do tempo
\displaystyle v(t) = -2\,t^2 + 8\,t + 10
e pede o instante entre 12 h e 16 h em que essa velocidade é máxima.
Aqui t é contado em horas a partir de 12 h, logo o domínio é t\in[0,4].
O conteúdo aplicado será otimização de funções quadráticas via derivadas.

Passo 2

Para achar extremos de v(t), calculamos a derivada primeira:
v'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(-2\,t^2 + 8\,t + 10\bigr) = -4\,t + 8.
Um ponto crítico ocorre quando v'(t)=0.

Passo 3

Resolvendo
-4\,t + 8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 2.
Esse é o único ponto em que a velocidade pode atingir um máximo ou mínimo.

Passo 4

Para verificar que é máximo, usamos a segunda derivada:
v''(t) = \frac{d}{dt}(-4\,t + 8) = -4.
Como v''(t) = -4 < 0, a concavidade é para baixo e t=2 é de fato um máximo.
Além disso, 2\in[0,4], então está dentro do intervalo considerado.

Passo 5

Como t mede horas após 12 h, o instante t=2 corresponde a
12\;\text{h} + 2\;\text{h} = 14\;\text{h}.

Resposta

O trânsito está mais rápido às 14 h.

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