Resolva as equações diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
Este é um caso da equação de Bernoulli, pois pode ser colocada na forma
com
. Vamos usar a transformação padrão para equações de Bernoulli.
Passo 2
Dividimos toda a equação por
para obter o formato canônico:
Aqui
,
e
.
Passo 3
Na equação de Bernoulli faz-se a substituição
Calculamos
em função de
e
:
Agora substituímos
da equação original reorganizada:
Passo 4
Da forma
vem
Reescrevendo, obtemos uma equação linear em
:
Passo 5
Para resolver
tomamos fator integrante
. Multiplicando por
:
Integramos em
:
Mas
Então
Passo 6
Voltando à variável
, lembrando que
:
Tomando o cubo inverso, obtemos a solução geral
Resposta
onde
é constante arbitrária de integração.