Resolva as equações diferenciais:
6 y^prime-2 y=x y^4.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
6,y' - 2,y = x,y^4
Este é um caso da equação de Bernoulli, pois pode ser colocada na forma
y' + P(x),y = Q(x),y^n
com n=4. Vamos usar a transformação padrão para equações de Bernoulli.

Passo 2

Dividimos toda a equação por 6 para obter o formato canônico:
y' - 13,y = x6,y^4
Aqui P(x) = -tfrac13, Q(x)=tfracx6 e n=4.

Passo 3

Na equação de Bernoulli faz-se a substituição
u = y^1-n = y^-3
Calculamos u' em função de y e y':
u' = -3,y^-4,y'
Agora substituímos y' da equação original reorganizada:

Passo 4

Da forma
y' = x6,y^4 + 13,y,
vem
u' = -3,y^-4l(x6,y^4 + 13,yr) = -3x6 - y^-3 = -x2 - u
Reescrevendo, obtemos uma equação linear em u:
u' + u = -x2

Passo 5

Para resolver
u' + u = -x2,
tomamos fator integrante mu(x)=e^integral 1,dx=e^x. Multiplicando por e^x:
(e^x u)' = -x2,e^x
Integramos em x:
e^x u = -12integral x,e^x,dx + C
Mas
integral x,e^x,dx = x,e^x - integral e^x,dx = e^x(x-1)
Então
e^x u = -12,e^x(x-1) + C Longrightarrow u = -x-12 + C,e^-x

Passo 6

Voltando à variável y, lembrando que u=y^-3:
y^-3 = -x-12 + C,e^-x = 1-x2 + C,e^-x
Tomando o cubo inverso, obtemos a solução geral
y(x) = l(tfrac1-x2 + C,e^-xr)^-tfrac13

Resposta

boxedy(x)=(1-x2+C,e^-x)^-13,
onde C é constante arbitrária de integração.

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