Resolva as equações diferenciais homogêneas:
y^prime=yx-xy.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = yx - xy
Esse tipo de EDO é homogênea, pois o lado direito é função de y/x. Vamos usar a substituição
y = v,x,
onde v é função de x.

Passo 2

Com y = v,x temos
dydx = v + x,dvdx
Substituindo na EDO original:
v + x,dvdx = v - 1v Longrightarrow x,dvdx = -1v Longrightarrow dvdx = -1v,x

Passo 3

Separamos variáveis para integrar:
v,dv = -dxx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral v,dv = integral -dxx Longrightarrow v^22 = -lnlvert xrvert + C
Multiplicando por 2 e reescrevendo a constante, obtemos
v^2 + 2lnlvert xrvert = C1

Passo 5

Voltando a y, lembrando que v = yx, a solução implícita geral fica
l(yxr)^2 + 2lnlvert xrvert = C1

Resposta

l(yxr)^2 + 2lnlvert xrvert = C,
onde C é constante arbitrária.

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