Resolva as equações diferenciais homogêneas:
(x^3+x y^2) y^prime=y^3.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(x^3+x y^2r),y' ;=; y^3,
que é homogênea (o quociente y'1 depende apenas de y/x). Vamos usar a substituição padrão para equações homogêneas:
y = v,x,
onde v é função de x.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação em forma explícita
y' ;=;y^3xl(x^2+y^2r) =yx;cdot;y^2x^2+y^2
Como a equação só envolve tfracyx, a substituição y=v,x faz sentido.

Passo 3

Com y=v,x temos
y' = ddx(v,x)=v + x,dvdx
Substituindo em
v + xdvdx = yx,y^2x^2+y^2
e lembrando que tfracyx=v e tfracy^2x^2=v^2, obtemos
v + xdvdx = v,v^21+v^2 ;;Longrightarrow;; xdvdx = vl(v^21+v^2 - 1r) = -v1+v^2

Passo 4

Agora separamos variáveis:
1+v^2v,dv = -dxx
Note que
1+v^2v = 1v+v,
portanto a integração fica direta.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integrall(1v+vr)dv = integral -dxx ;;Longrightarrow;; ln|v| + v^22 = -ln|x| + C
Multiplicando por 2 e rearranjando dá
v^2 + 2ln|v| + 2ln|x| = C',
onde C'=2C é constante arbitrária.

Passo 6

Voltando à variável original y=v,x, temos v=y/x, logo
l(yxr)^2 + 2lnl|yxr| + 2ln|x| = C' ;;Longrightarrow;; y^2x^2 + 2ln|y| = C'
Podemos escrever o resultado em forma implícita mais simples:

Resposta

boxedy^2x^2 + 2lnl|yr| = C,
onde C é constante arbitrária.

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