Resolva as equações diferenciais homogêneas:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
que é homogênea (o quociente
depende apenas de
). Vamos usar a substituição padrão para equações homogêneas:
onde
é função de
.
Passo 2
Primeiro escrevemos a equação em forma explícita
Como a equação só envolve
, a substituição
faz sentido.
Passo 3
Com
temos
Substituindo em
e lembrando que
e
, obtemos
Passo 4
Agora separamos variáveis:
Note que
portanto a integração fica direta.
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Multiplicando por 2 e rearranjando dá
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Voltando à variável original
, temos
, logo
Podemos escrever o resultado em forma implícita mais simples:
Resposta
onde
C é constante arbitrária.