Resolva as equações diferenciais:
y^prime-y=exp (x) y^2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' - y = e^x y^2
Trata-se de uma equação de Bernoulli de grau n=2, pois está no formato
y' + p(x),y = q(x),y^n
com p(x)=-1, q(x)=e^x e n=2. Para resolver, faremos a substituição clássica
u = y^1-n = y^-1

Passo 2

Vamos expressar u' em função de y e y'. Como u=y^-1, temos
u' = -y^-2,y'
Da equação original isolamos
y' = y + e^x,y^2
Substituindo em u' resulta
u' = -y^-2l(y + e^x,y^2r) = -y^-1 - e^x = -u - e^x
Logo a equação em u é
u' + u = -e^x

Passo 3

Reconhecemos agora uma equação linear de primeira ordem em u:
u' + 1cdot u = -e^x
O fator integrante é
mu(x) = e^integral 1,dx = e^x
Multiplicando ambos os lados por mu(x) temos
e^x u' + e^x u = -e^2x Longrightarrow ddxl(e^x ur) = -e^2x

Passo 4

Integramos em x:
e^x u = integral -e^2x,dx = -tfrac12 e^2x + C,
onde C é constante de integração. Assim
u(x) = -tfrac12 e^x + C,e^-x

Passo 5

Voltando à variável original y, usamos u=y^-1, logo
y = 1u = 1-tfrac12 e^x + C,e^-x = 2,e^x-e^2x + 2C = 2,e^xK - e^2x,
onde definimos K=2C como constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = 2,e^xK - e^2x,
com K constante real.

Exercícios relacionados