Resolva as equações diferenciais:
y^prime+1x y=y^2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' + 1xy = y^2,
que é uma equação de Bernoulli do tipo
y' + P(x),y = Q(x),y^n
com P(x)=tfrac1x, Q(x)=1 e n=2.

Passo 2

Para tratar a não-linearidade, fazemos a substituição
u = y^1-n = y^-1
Como u = 1/y, temos
u' = ddxl(1yr) = -y'y^2
Agora reescrevemos a equação original dividindo tudo por y^2:
y'y^2 + 1x,yy^2 = 1 ;Longrightarrow; y'y^2 + 1x,1y = 1

Passo 3

Substituindo tfracy'y^2 = -u' e tfrac1y = u obtemos a equação linear em u:
-u' + 1x,u = 1 ;Longrightarrow; u' - 1x,u = -1

Passo 4

Para resolver
u' - 1x,u = -1
calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral -tfrac1x,dxr) = exp(-ln|x|)=1x
Multiplicando a equação por mu(x):
1x,u' - 1x^2,u = -1x ;Longrightarrow; ddxl(uxr) = -1x
Integrando ambos os lados em x:
ux = -ln|x| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando u e voltando a y:
u = xl(C - ln|x|r), u = 1y ;Longrightarrow; y = 1u = 1x,(C - ln|x|)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
boxedy(x) = 1x,l(C - ln|x|r),
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados