Resolva as equações diferenciais:
y^prime+cot (x) y=sen(x) y^4.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y' + cot(x),y = sin(x),y^4
Esta é uma equação de Bernoulli com expoente n=4. Para resolver, vamos usar a substituição
u = y^1-n = y^-3,
transformando-a numa equação linear em u.

Passo 2

Definindo u=y^-3, derivamos em relação a x:
u' = -3,y^-4,y'

Passo 3

Da relação acima isolamos y':
y'=-tfrac13,y^4,u',
e substituímos na equação original junto com y^3=1/u. Isso leva a
u' - 3cot(x),u = -3sin(x),
que é uma equação linear em u.

Passo 4

O fator integrante é
mu(x)=expl(integral -3cot(x),dxr)=sin^-3(x)
Multiplicando a equação por mu(x) obtemos
ddxl(u,sin^-3(x)r) = -3,csc^2(x)
Integrando em x, vem
u,sin^-3(x)=3cot(x)+C

Passo 5

Isolando u e retornando a y:
u=(3cot(x)+C),sin^3(x), y^-3=u ;Longrightarrow; y^3=1sin^3(x),(3cot(x)+C)

Passo 6

Extraindo a raiz cúbica e simplificando,
y(x) =l[sin^3(x)(3cot(x)+C)r]^-13 =l[sin^2(x)l(3cos(x)+Csin(x)r)r]^-13

Resposta

y(x)=l[sin^2(x)l(3cos(x)+Csin(x)r)r]^-13,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados