Resolva as equações diferenciais abaixo:
y^prime=1(x-1)(x+5)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = 1(x-1)(x+5)
que é do tipo y' = f(x), ou seja, basta integrar em x para obter y.

Passo 2

Para integrar
1(x-1)(x+5)
fazemos frações parciais. Escrevemos
1(x-1)(x+5) = Ax-1 + Bx+5
Multiplicando por (x-1)(x+5), obtemos
A(x+5) + B(x-1) = 1
Igualando coeficientes de x e termo independente:
A + B = 0, 5A - B = 1,
cuja solução é
A = tfrac16, B = -tfrac16

Passo 3

Substituindo na integral de y:
y = integral 1(x-1)(x+5),dx = integrall(tfrac16,1x-1 - tfrac16,1x+5r),dx
Então
y = tfrac16lnl|x-1r| ;-; tfrac16lnl|x+5r| + C

Passo 4

Podemos combinar os logaritmos:
y = 16lngl|x-1x+5gr| + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x) = 16lnl|x-1x+5r| + C

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