Resolva as equações diferenciais abaixo:
y^prime=x^3 e^2 x

Passo 1

Neste exercício a gente tem a equação diferencial y' = x^3 e^2x. O conteúdo é resolução de equações diferenciais de primeira ordem e vamos precisar integrar o lado direito.

Passo 2

Como y'(x) é a derivada de y, sabemos que y(x) é uma primitiva de x^3 e^2x. Então:
y(x) = integral x^3 e^2x ,dx + C
Para calcular essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, que se baseia na fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 3

Primeira integração por partes: escolho u = x^3 e dv = e^2x dx. Daí du = 3x^2 dx e v = tfrac12 e^2x. Assim:
integral x^3 e^2x ,dx = x^3 cdot tfrac12 e^2x - integral tfrac12 e^2x cdot 3x^2 ,dx

Passo 4

Simplificando o fator tfrac32:
integral x^3 e^2x ,dx = tfrac12 x^3 e^2x - tfrac32 integral x^2 e^2x ,dx
Agora falta calcular integral x^2 e^2x ,dx.

Passo 5

Segunda integração por partes: escolho u = x^2 e dv = e^2x dx. Então du = 2x dx e v = tfrac12 e^2x. Logo:
integral x^2 e^2x ,dx = x^2 cdot tfrac12 e^2x - integral tfrac12 e^2x cdot 2x ,dx

Passo 6

Simplificando:
integral x^2 e^2x ,dx = tfrac12 x^2 e^2x - integral x e^2x ,dx
Agora precisamos de integral x e^2x ,dx.

Passo 7

Terceira integração por partes: escolho u = x e dv = e^2x dx. Então du = dx e v = tfrac12 e^2x. Temos:
integral x e^2x ,dx = x cdot tfrac12 e^2x - integral tfrac12 e^2x ,dx
E como integral e^2x ,dx = tfrac12 e^2x, fica:

Passo 8

Calculando:
integral x e^2x ,dx = tfrac12 x e^2x - tfrac12 cdot tfrac12 e^2x = tfrac12 x e^2x - tfrac14 e^2x
Substituindo em integral x^2 e^2x ,dx:
integral x^2 e^2x ,dx = tfrac12 x^2 e^2x - l(tfrac12 x e^2x - tfrac14 e^2xr) = tfrac12 x^2 e^2x - tfrac12 x e^2x + tfrac14 e^2x
E então em integral x^3 e^2x ,dx:
integral x^3 e^2x ,dx = tfrac12 x^3 e^2x - tfrac32l(tfrac12 x^2 e^2x - tfrac12 x e^2x + tfrac14 e^2xr)

Passo 9

Agora é só simplificar e fatorar e^2x:
integral x^3 e^2x ,dx = e^2x8(4x^3 - 6x^2 + 6x - 3) + C
E como essa integral é o próprio y(x), a solução geral da equação diferencial é essa.

Resposta

y(x) = \frac{e{2x}}{8}(4x3 - 6x^2 + 6x - 3) + C

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