Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Neste exercício a gente tem a equação diferencial
. O conteúdo é resolução de equações diferenciais de primeira ordem e vamos precisar integrar o lado direito.
Passo 2
Como
é a derivada de
, sabemos que
é uma primitiva de
. Então:
Para calcular essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, que se baseia na fórmula
.
Passo 3
Primeira integração por partes: escolho
e
. Daí
e
. Assim:
Passo 4
Simplificando o fator
:
Agora falta calcular
.
Passo 5
Segunda integração por partes: escolho
e
. Então
e
. Logo:
Passo 6
Simplificando:
Agora precisamos de
.
Passo 7
Terceira integração por partes: escolho
e
. Então
e
. Temos:
E como
, fica:
Passo 8
Calculando:
Substituindo em
:
E então em
:
Passo 9
Agora é só simplificar e fatorar
:
E como essa integral é o próprio
, a solução geral da equação diferencial é essa.
Resposta
y(x) = \frac{e{2x}}{8}(4x3 - 6x^2 + 6x - 3) + C