Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma função y cuja derivada seja
. O conteúdo é equações diferenciais de 1ª ordem e vamos precisar usar integração para achar y.
Passo 2
Lembrete:
significa
. Então a equação
vira
e integrando ambos os lados em relação a x:
O lado esquerdo é simplesmente
, e do lado direito precisamos calcular
.
Passo 3
Para resolver
, vamos usar integração por partes, cuja fórmula é
Primeiro, escolho
Então
Aplicando:
Passo 4
Agora surge a nova integral
. Vamos usar outra vez integração por partes com
Então
Aplicando:
Repare que aparece de novo
, que é o integral original que chamaremos de
.
Passo 5
Chamando
temos pelas contas anteriores:
e
Substituindo a segunda na primeira:
Somando
dos dois lados:
Logo
Passo 6
Voltando para y, como
, concluímos:
Resposta
y = \frac{e^{2x}}{5}(\sin(x) + 2\cos(x)) + C