Resolva as equações diferenciais abaixo:
y^prime=e^2 x cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função y cuja derivada seja . O conteúdo é equações diferenciais de 1ª ordem e vamos precisar usar integração para achar y.

Passo 2

Lembrete: dydx=e^2xcos(x) significa integral dydx,dx=integral e^2xcos(x),dx . Então a equação vira
e integrando ambos os lados em relação a x:
O lado esquerdo é simplesmente , e do lado direito precisamos calcular .

Passo 3

Para resolver integral u,dv = u,v - integral v,du , vamos usar integração por partes, cuja fórmula é
u = e^2x, dv=cos(x),dx
Primeiro, escolho
du=2e^2x,dx, v=sin(x)
Então
integral e^2xcos(x),dx = e^2xsin(x) - integral 2e^2xsin(x),dx
Aplicando:

Passo 4

Agora surge a nova integral u = e^2x, dv=sin(x),dx . Vamos usar outra vez integração por partes com
du=2e^2x,dx, v=-cos(x)
Então
integral e^2xsin(x),dx = -e^2xcos(x) + integral 2e^2xcos(x),dx
Aplicando:
Repare que aparece de novo , que é o integral original que chamaremos de .

Passo 5

Chamando
I = integral e^2xcos(x),dx,
temos pelas contas anteriores:
I = e^2xsin(x) - 2integral e^2xsin(x),dx
e
integral e^2xsin(x),dx = -e^2xcos(x) + 2I
Substituindo a segunda na primeira:
I = e^2xsin(x) - 2l(-e^2xcos(x) + 2Ir)
I = e^2xsin(x) + 2e^2xcos(x) - 4I
Somando 5I = e^2xl(sin(x) + 2cos(x)r) dos dois lados:
I = e^2x5l(sin(x) + 2cos(x)r)
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Passo 6

Voltando para y, como y = e^2x5l(sin(x) + 2cos(x)r) + C , concluímos:

Resposta

y = \frac{e^{2x}}{5}(\sin(x) + 2\cos(x)) + C

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