Resolva as equações diferenciais abaixo:
y^prime=3 x^6+4 x e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = 3x^6 + 4x e^x
Isto é um caso simples em que y'(x)=f(x), portanto basta integrar ambos os lados em relação a x para obter
y(x)=integral l(3x^6+4x e^xr),dx + C

Passo 2

Para o termo polinomial usamos a regra de potência integral x^ndx = x^n+1/(n+1). Assim,
integral 3x^6,dx = 3 cdot x^77 = 3x^77

Passo 3

Para o termo 4x e^x aplicamos integração por partes, escolhendo
u = 4x, dv = e^xdx
de onde
du = 4,dx, v = e^x
Logo,
integral 4x e^x,dx = 4integral x e^x,dx = 4l(x e^x - integral e^xdxr) = 4x e^x - 4e^x

Passo 4

Somando os resultados dos dois integrais e acrescentando a constante C, obtemos a solução geral:
y(x) = 3x^77 + 4x e^x - 4e^x + C

Resposta

y(x) = 3x^77 + 4x e^x - 4e^x + C,
onde C é a constante de integração.

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