Resolva as equações diferenciais abaixo:
y^prime=sec (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = sec(x)
Isso significa que a derivada de y em relação a x está dada por uma função de x. Para encontrar y(x), basta integrar essa expressão.

Passo 2

Reescrevemos a diferencial em forma separada:
dy = sec(x),dx
Agora vamos integrar ambos os lados em relação a x.

Passo 3

Integrando, obtemos
y(x) = integral sec(x),dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para calcular integral sec(x),dx, usamos o fato de que
ddxl(sec(x)+tan(x)r) = sec(x)tan(x)+sec^2(x) = sec(x)l(tan(x)+sec(x)r)
Logo,
integral sec(x),dx = integral sec(x),(sec(x)+tan(x))sec(x)+tan(x),dx = integral dl(sec(x)+tan(x)r)sec(x)+tan(x) = lnl|sec(x)+tan(x)r| + C1
Substituindo de volta,
y(x) = lnl|sec(x)+tan(x)r| + C

Resposta

y(x) = lnl|sec(x)+tan(x)r| + C

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