Resolva as equações diferenciais abaixo:
y^prime=tan (x) raiz1-y^2

Passo 1

Tranquilo, vamos dar uma resumida: temos uma equação diferencial ordinária de primeira ordem do tipo separável, ou seja, o conteúdo aqui é separação de variáveis. A gente vai precisar saber integrar funções do tipo 1/raiz1-y^2 e integrar tan(x).

Passo 2

Primeiro, escrevemos a derivada y' como dydx e separamos as variáveis:

Passo 3

dyraiz1 - y^2 = tan(x),dx

Passo 4

Agora vamos integrar os dois lados. Do lado esquerdo temos:

Passo 5

integral dyraiz1 - y^2 = arcsin(y) + C1

Passo 6

E do lado direito:

Passo 7

integral tan(x),dx = -lnl|cos(x)r| + C2

Passo 8

Juntando as duas integrais e absorvendo constantes em uma só C, fica:

Passo 9

arcsin(y) = -lnl|cos(x)r| + C

Passo 10

Por fim, isolamos y aplicando a função sin nos dois lados:

Passo 11

y = sinl(-lnl|cos(x)r| + Cr)

Passo 12

Podemos ainda reescrever a constante C mudando seu sinal ou nome, mas a forma geral é essa aí.

Resposta

y(x) = sinl(C - ln|cos(x)|r), onde C é constante de integração.

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